2017年北京信息科技大学理学院610数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f (x ) 在
(1)
时，
上连续，满足：
由于f (x ) 在S 上连续，根据连续函数的性质，f (x ) 必在
和最小
值
2．
(1)
求证：
(2)
使得
(2) 设. 所以
则有
...
若
记
所以
使得
(2) 对任意x 和正常数c , 求证：存在S 上
的
和
【答案】考虑有界闭集
那么
点分别取到它在S 上的最大
值
【答案】(1) 利用拉格朗日中值定理，存在
故有
3． 证明级数
【答案】因为所以
当
时，数
列收敛. 因为
而
发散，所以
发散. 故原级数为条件收敛. 条件收敛.
所以该级数为交错级数. 令
单调递减，
且
则
由莱布尼茨判别法知级
数
结论得证.
4． 用有限覆盖定理证明根的存在性定理。
【答案】根的存在定理：若函数f 在闭区间点
使得
假设方程
性知，对每一点符号. 于是，所有的来覆盖右端点盖
.
与
在形成
内无实根，
则对每一点
使得
在
有
由连续函数的局部保号内保持与
相同的它的
的一个开覆
存在x 的一个邻域
上连续，且
与
异号，则至少存在一
的一个开覆盖. 根据有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间
以此类推，经过有限次地向右移
这n
个开区间显然就是
与与
的符号. 以此类推，
使得
具有相同的符号.
因为
具有相同的符号. 这与
把这些开区间的集合记为S , 则点a 属于S 的某个开区间，设为又属于S 的另一个开区间，设为
使得
在
内也具有
在每一个所以
内保持同一个符号.
在
内
动，
得到开区间
异号矛盾. 故至少存在一点
二、解答题
5． 讨论下列函数在给定点或区间上的连续性，并指出不连续点的类型
.
（2）黎曼函数
【答案】（1）当
时
在点连续；
当当连续；
时，时，由于
不存在，在点不连续；
所以
不存在，
在点
不
综上所述，当第二类间断点.
时，在点连续；当
有
时，在点不连续，此时为
（2）由黎曼函数的极限结论：对时
.
1
从而
在点连续；
当
知，当为0, 1或（0, 1）内无理点
从而
在点不连续，即
为有理点时
，
在0, 1及（0，1）内无理点处都连续，在（0, 1）内有理点处都不连续，且易知（0，1）内
有理点都是可去间断点.
6． 设是非负函数，在果
有根，就只能有一个根. 【答案】设
使得
上二阶可导，且求证：方程在内如
首先有. 事实上，由假设
其次，假定存在证明可得
再在
这与
7． 设
(1) (2)
的假定矛盾.
（不妨设上对，
使得）那么根据上述使得
用罗尔中值定理，则存在
为连续函数，试就如下曲线： 连接连接
的直线段；
三点的三角形(逆时针方向) ，
计算下列曲线积分：
【答案】曲线如图所示，
图
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