2017年北京信息科技大学理学院610数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1．
(1)
求证：
(2)
使得
(2) 设
. 所以
故有
2． 设函数
在
上连续，在.
结论得证.
内可导，且满足
证明:至少存在一点【答案】令中值定
理知，
使得
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【答案】(1) 利用拉格朗日中值定理，存在
则有...
使则
在
上连续，
在
内可导. 由题设，利用积分
因此，由罗尔定理可知，故有
3． 设f (x ) 在[0, 2]上二次可微，且
证明：【答案】
4． 设f 为R 上连续函数，常数
记
【答案】f 在R 上连续. 答:(1) 证法一，因为
而f (x ) 、c 连续，由连续函数的代数运算知，F (x ) 在R 上连续. (2) 证法二，设
则u (x ) 处处连续，又因为f (x ) 连续，由连续函数的运算法则知，复合函数是连续的.
(3) 证法三，直接用连续函数的定义证明.
设
时，
设时若因此当对
则
时，总有
同样可得，故
在连续.
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使得由于
也
时，显然F (x )
在连续.
当
因为f (x )
在
若
连续，
所以
则
当
由F (x )
的定义知且
所以
所以
二、解答题
5． 试作适当变换，计算下列积分：
【答案】⑴
，则
于是
(2) 令于是
6． 设
应用链式法则计算
即
则
则
【答案】把看作以下三个变换的复合
7． (1) 求
(2)
求
点的幂级数展开式；
的和；
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