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一、证明题

1． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布

试证明:【答案】设

相互独立. 则

所以

. 由此得

和

的联合密度为

所以

2． 设随机变量

【答案】若随机变量而

这就证明了

3． 设

证明:

可分离变量，即U 与V 相互独立.

证明

则

也服从

从而

为独立的随机变量序列，且

服从大数定律.

所以由

服从大数定律. 服从二维正态分布，且

的独立性可得

【答案】因为由马尔可夫大数定律知

4． 设二维随机向量

证明:对任意正常数a , b 有

【答案】记

则

由条件知

所以

由此得

令

则

所以

其中

又由

知

这就完成不等式的证明.

5． 设

证明【答案】

诸

是充分统计量. 的联合密度函数为

注意到

是已知常数，令

取

由因子分解定理，

独立，是已知常数，

是的充分统计量.

6． 设为n 维随机变量，其协方差矩阵存在. 证明:若

使得

则以概率

1在各分量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数

【答案】由于使得另一方面，

方差为零的随机变量必几乎处处为常数，故存在常数a ，使得

7． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明:

【答案】

8． 总体

（1）证明

，其中

是未知参数，又

意味着B 非满秩，故存在一组不全为零的实数向量

为取自该总体的样本，为样本均值.

是参数的无偏估计和相合估计；

，则

，从而

（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体

于是，，这说明是参数的无偏估计. 进一步，

这就证明了也是的相合估计.

，显然

是的减函数，

（2）似然函数为且的取值范围为

’因而的最大似然估计为

下求的均值与方差，由于的密度函数为