2018年杭州电子科技大学经济学院823统计学综合之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为
试求 （1）常数k ;
（2）（x , y ）的联合分布函数F （x , y ）; （3）
【答案】（1）由
解得k=12.
（2）当x ≤0或Y ≤0时，有
；而当x >0，y>0时，
所以
（3）
2． 设
若分别取问
是否为
是取自均匀分布总体
和
的一个样本，
作为
的估计量，
的无偏估计.
.
的无偏估计量？如果不是，如何修正才能获得则
从而
记
【答案】令于是有
为样本相应的次序统计量，
可见不是的无偏估计量. 由
解之得
因而
是
的无偏估计量.
3． 下面给出两种型号的计算器充电以后所能使用的时间（单位:h ）的观测值
表
设两样本独立且数据所属的两正态总体方差相等，且均值至多差一个平移量. 试问能否认为型号A 的计算器平均使用时间明显比型号B 来得长（取
）？
【答案】这个问题可归结为关于两总体的均值是否相等的检验问题. 两正态总体方差相等但仍未知，故应釆用两样本t 检验. 设X 表示型号A 的计算器充电以后所能使用的时间，Y 表示型号B 的计算器充电以后所能使用的时间，则依题意，
经计算，
从而
其拒绝域为
由于检验统计量的取值
4． 设二维随机变量（x , y ）的联合密度函数为少有一个小于0.5的概率
【答案】两事件
中至少有一个发生的概率为
5． 若总体X 服从如下柯西分布:
，待检验的假设为:
. 查表知:
，故拒绝
，
可以认为型号A 的计算器平燧使用时间明显比型号B 来得长.
求X 与Y 中至
而是它的一个样本，试求的估计量.
的估计量.
最小，则得
，很难说是
的一个合适的估计量，
【答案】由于柯西分布不存在数学期望，因此不能用一阶矩法估计得到若用最小二乘法，即使
因为这时无偏性、有效性都失去意义，而且与同分布，
说明也没有起到汇集的信息的作用，因而，这个估计量的相合性也就无从谈起. 因此，我们转而讨论的最大似然估计. 其似然函数为
其对数似然函数为
对求导可得对数似然方程为
这个方程只能求数值解，比如用牛顿迭代法. 由于是总体分布的中位数，因此可以用样本中位数作为迭代的初值. 所求得的这个数值解即为的最大似然估计. 从似然角度看，该方法得到的估计要比样本中位数估计更好些.
6． 某人每天早上在汽车站等公共汽车的时间（单位:min ）服从均匀分布
假设
的先验
分布为
，其中未知，
假如此人在三个早上等车的时间分别为
5, 3, 8min , 求后验分布.
【答案】
与
的联合分布为
此处
于是的后验分布为
7． 设随机变量X 服从
【答案】X 的密度函数为
由于X 在间外，
当
内取值，所以时，使
的可能取值区间为（0, 1）. 在Y 的可能取值区
的x 取值范围为两个互不相交的区间
, 如图
，所以与的联合分布为
上的均匀分布，求随机变量的密度函数
，其中