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一、证明题

1． 证明：tanx

在

且

②由令

2． 设

【答案】因为f 为有

又因为

取

故

不妨设b>0, 则由函数极限的局部保号性知

.

则当

时，

在

内

，

上无界，而在任一闭区间

故tanx 为则对一切

证明

都有

使得当

时.

上的无界函数.

时，

. 故tanx 在[a, b]上有界.

上有界.

则

【答案】①对任意正数M ，以1和M+1为两直角边作一直角三角形. 设其较大的锐角为

可知，tanx 在[a, b]严格递增，从而当

时的无穷大量，所以对任意的M>0, 存在

二、解答题

3． 设f (x , y) 在

【答案】由已知

在

上连续，且恒取正值，试求

上存在最小值m 与最大值M , 使

且

则原式

4． 设

(1) 求f 的傅里叶级数展开式； (2) 讨论f 的傅里叶级数在【答案】(1) 由于f

在

上是否收敛于f ，是否一致收敛于f? 上为奇函数，故

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又因

所以f 的傅里叶级数展开式为

(2) 因为f 在

上除x=0外都连续，故当

又当x=0时，级数收敛于

当

时，级数收敛于

由此可见，f 的傅里叶级数在由于f

在

连续性相矛盾，故f 的傅里叶级数在

5． 计算积分

上收敛于f.

上一致收敛于f , 这就与f 的不

上不一致收敛于f.

上不连续，由连续性定理，若级数在

且

时，有

【答案】内层积分积不出来，不妨换一求积次序. 为此由所给积分限画出积分区域D 的图形(见图)

图

于是

6． 设及

【答案】其中

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其中在

上可导，求

其中

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