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一、计算题

1． 设

为独立分布同分布变量，

，

（1）求

的（2）求的矩估计

，并问是否是无偏的； ；

（3）计算的无偏估计的方差的C-R 下界. 【答案】（1）的密度函数可表示为

因此，相应的对数似然函数为

关于求导并令其为0, 可得，

解之有

注意到，有

其中

故（2）因为

不是的无偏估计.

，所以的矩估计为

（3），关于求导，得

所以，的无偏估计的方差的C-R 下界为

2． 为比较不同季节出生的女婴体重的方差，从某年12月和6月出生的女婴中分别随机地抽取6名及10名，测其体重如下（单位:g ）:

假定新生女婴体重服从正态分布，

问新生女婴体重的方差是否是冬季的比夏季的小（取）？

【答案】设冬、夏两季新生女婴的体重分别服从

因而，考虑检验统计量

所以不拒绝原假设，不能认为女婴体重的方差是“冬季的比夏季小”

考虑检验问题:

3． 设随机变量X 服从伽玛分布

【答案】伽玛分布

，试求

的密度函数为

由于

，因此所求概率为

4． 把一颗骰子独立地掷n 次，求1点出现的次数与6点出现次数的协方差及相关系数.

【答案】记

则1点出现的次数从而有

欲求

故先求

由于

且因为

和

均为仅取0, 1值的随机变量，所以

时，有

由此得综上可得

X 与Y 负相关是可以理解的，因为在掷n 次骰子中，1点出现次数多必使6点出现次数少.

5． 设总体X 的分布函数为

【答案】设

经验分布函数为是取自总体分布函数为

试证

的样本，则经验分布函数为

若令

则

是独立同分布的随机变量，且

6点出现的次数

（第次投掷时，不可能既出现1点、同时又出现6点），因此当

而当

时，由于

与

相互独立，所以