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一、计算题

1． 设二维随机变量

的联合密度函数为

求X 与Y 的相关系数.

【答案】先计算X 与Y 的期望、方差与协方差

.

最后可得X 与Y 的相关系数

2． 设二维随机变量

的联合密度函数为

求X 与Y 的协方差及相关系数. 【答案】先求X 与Y 的期望与方差

所以

又因为

所以X 与Y 的协方差及相关系数为

3． 设X 是只取自然数为值的离散随机变量. 若X 的分布具有元记忆性，即对任意自然数n 与m , 都有

【答案】由无记忆性知

或

若把n 换成n —1仍有

上两式相减可得

若取n=m=l, 并设若取n=2，m=l，可得

若令

，则用数学归纳法可推得

这表明X 的分布就是几何分布.

4． 通常每平方米某种布上的疵点数服从泊松分布，现观测该种布

【答案】以X 记每平方米上的疵点数，则可认为

发现有126个疵点，在

，则有

，则X 的分布一定是几何分布.

显著性水平为0.05下能否认为该种布每平方分米上平均疵点数不超过1个？并给出检验的p 值.

，需要检验的假设为

由于n=100, 故可以采用大样本检验，泊松分布的均值和方差都是，而因而，检验的统计量为若取由于u 在

. 则

，检验的拒绝域为

.

. 这里u=2.6落入拒绝域，故

.

，

拒绝原假设，认为该种布每平方米上的平均疵点数不超过1个的结论不成立.

成立时，服从标准正态分布，因而检验的p 值为

试求

5． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且

【答案】因为

所以

6． 向中随机投掷一点P ，求P 点到AB 的距离X 的数学期望、方差与标准差.

的高CD ，记CD 的长度为h （如图1）

.

【答案】先求X 的分布函数，作

图1

设X 的分布函数为F （X ），则当当作

时，有

而当

时，有时，为了求概率

；

，

，使EF 与AB 间的距离为X. 利用确定概率的几何方法，可得

综上可得

由此得X 的密度函数为

故X 与

的数学期望为

从而得X 的方差与标准差分别为

7． 设连续随机变量X 的分布函数为

试求 （1）系数A ; （2）X 落在区间（3）X 的密度函数. 【答案】（1）由（2）

内的概率； 的连续性，有

.

，由此解得A=l.