2018年安徽农业大学植物保护学院314数学(农)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 我们知道营业税税收总额y 与社会商品零售总额x 有关. 为能从社会商品零售总额去预测税收总额，需要了解两者之间的关系. 现收集了如下九组数据（单位:亿元）:
表
（1）画散点图；
（2）建立一元线性回归方程，并作显著性检验（取区间；
（4）若已知回归直线过原点，试求回归方程，并在显著性水平0.05下作显著性检验. 【答案】 （1）散点图如图:
，列出方差分析表；
（3）若已知某年社会商品零售额为300亿元，试给出营业税税收总额的概率为0.95的预测
图
类似的问题我们已经做过多次，此处我们使用MA TLAB 统计软件来进行，把数据输入到worksheet 中，在选项stat 中选择regression. 在弹出的对话框中将因变量和自变量选入即可，得到的回归方程为
，方差分析表如下:
表
根据以上结果，在显著性水平下，回归方程是显著的.
.
（3）按照（2）的步骤进入regression 对话框，点击options 后，在prediction of new observation中给出自变量x 的值300, 就可以得到y 的0.95预测区间为即可得到过原点的回归直线为
下，过原点的回归方程是显著的.
2． 设为自由度为n 的t 变量，试证:
（4）若想要拟合不带截距的过原点的回归方程，只要在options 中在Fitintercept 选项中不选，
，此时检验的P 值为0.000, 因此在显著性水平
的极限分布为标准正态分布
其中
故的特征函数为
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知且X 与Y 相互独立. 由Y 的特征函数为考察其极限知
由特征函数性质知
从而由
再按依概率收敛性知
这就证明了
3． 设二维随机变量
（1）求（2）计算
,
的概率密度为的概率密度函数
；
；
’
的极限分布为标准正态分布
注:此结论也可从自由度为n 的t 分布的密度函数直接导出，只是推算稍微复杂一些.
（3）计算x 与y 的相关系数. 【答案】 （1）如图所示1所示
图1
由于
, 其中
故⑴当（2）当（3）当⑷当即
或
时, 有时, 有时, 有时, 有
；
； ；
（2）由题意知
又
故
（3）由x , y 在又
于是
, 故x 与y 的相关系数
.
中的对称性易知,
.
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