2018年北方工业大学理学院832统计学之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 设P （AB ）=0, 则下列说法哪些是正确的？
（1）A 和B 不相容； （2）A 和B 相容； （3）AB 是不可能事件； （4）AB 不一定是不可能事件； （5）P （A ）=0，或P （B ）=0; （6）P （A-B ）=P（A ）.
【答案】为了回答这个问题，先要明确一个命题:不可能事件的概率为零，但反之不然，即零，概率事件不一定是不可能事件，譬如，向区间[0, 1]上随机投点（其坐标记为x ）则点x 落在[0.2, 0.5]和[0.2, 0.5）内的概率皆为0.3, 这说明事件“x =0.5”的概率为零，但它是可能发生的事件.
（1）不正确，如A =[0.1, 0.2], B =[0.2, 0.3]. （2）不正确，如A =[0.1, 0.2），B =[0.2, 0.3]. （3）不正确，如（1）中的反例. （4）正确.
（5）不正确，如（1）中的反例. （6）正确.
2． 验证:正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.
【答案】设总体伽玛分布
，其密度函数为
则
的后验分布为
，其中
已知，
为其样本，取
的先验分布为倒
即
（均值已知）的共轭先验分布. 3．
是来自的样本，已知为估计.
【答案】因为
服从
所以
于是
所以，经修偏，
即
不是的无偏估计，但它是的渐近无偏估计，
相应的密度函数为
，这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差
的无偏估计，试说明是否为的无偏
是的无偏估计.
若我们关心的是y 如何依赖x 的取值而变动，则
4． 对给定的n 组数据可以建立如下回归方程
反之，若我们关心的是x 如何依赖y 的取值而变动，则可以建立另一个回归方程
试问这两条直线在直角坐标系中是否重合？为什么？若不重合，它们有元交点？若有，拭给出交点的坐标.
【答案】一般不重合. 因为回归方程
可化为
而
化为
当且仅当即n
组数据
时两条直线重合. 我们知道，
表示相关系数的绝对值为1，
在一条直线上，这在实际中极其罕见，所以说“一般不重
合”
不重合时，它们一定有交点
5． 设
记（1）
（2）
知,
且
的方差与
的协方差相互独立,
从而,
为来自总体
的简单随机样本
的简单随机样本,
为样本均值,
为来自总体
求:
【答案】 （1）由题设
所以
（2）由协方差的定义:所以有
又因
独立, 所以
故
同理有
（
6． 已知随机变量Y 的密度函数为
在给定
条件下，随机变量X 的条件密度函数为
因为
,
. 所以