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一、选择题

1． 设A 为4×3矩阵，常数，则

是非齐次线性方程组

的3个线性无关的解，

为任意

的通解为（ ）

【答案】C 【解析】由

于又显然有基础解系.

考虑到

是

的一个特解，所以选C.

2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D

【解析】

3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

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是非齐次线性方程

组，所以有解矛盾）

的三个线性无关的解，所

以从而

是

的一个

是对应齐次线性方程组（否则与

的两个线性无关的解.

D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

4． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A

均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

线性无关，

【解析】因为当线性无关时，若秩

否则线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

有

由上述知线性相关，所以于是

因此线性相关，故选A.

5． 设

为空间的两组基，且

又

则（ ）•

【答案】（C ）

【解析】令由②有

将①代入④得

即

二、分析计算题

6． 设S 是非零的反对称实矩阵，则

（1）

（2）设A 是正定阵，则

【答案】（1）有正交阵T 使

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于是

最后的不等号是由于非零. 于是

7． 设V 是数域K 上全体

①数与矩阵乘法如常，但矩阵加法规定为：②矩阵加法如常，但数与矩阵乘法规定为：素不动）.

【答案】有

不作成K 上线性空间：因为若V 作成线性空间，则由

不作成线性空间：因为加法如常，故若作成线性空间，则其零向量必为零方阵，且由

知，当

矛盾.

8． 证明：对欧氏空间中任意向量

【答案】根据三角形不等式得

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至少有一个

S 是反对称，则

仍反对称，且

（2）A 正定，于是有可逆实矩阵C 使

阶方阵作成的集合，问：V 对以下运算是否作成线性空间？

是用K 乘A 的主对角线上所有元素（别的元

及

知，必

即为零方阵，但是对V 中任意方阵A 却有

都有