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一、证明题

1． 设函数等式:

【答案】设

则

在区间

上严格递增且连续

,

注意到

故

2． 设当

因

为

3． 设

（1）因为（2）同理

4． 证明:

【答案】

且当

有时有

, 所以当

在

时在内连续.

:在

内连续.

, 关于x 在

内单调递减,

时, 时

,

, 而

, 所

以

. 证明:f 与g 两者中至多有一个在x=0连续.

, 从

而

, 这与题

设

为

的反函数, 试证成立

【答案】反证法, 假设f （x ）、g （x ）都在x=0连续, 则

矛盾. 故f 与g 两者中至多有一个在x=0连续.

记（2）所以

证明:

【答案】（1）由题意知

上一致收敛于0.

内闭

由狄利克雷判别法知,

一致收敛, 又被积函数连续, 于是F （y ）在

上一致收敛, 即F （y ）在

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5． 确定常数a , b , 使当

证明:

时, 为x 的3阶无穷小.

,

【答案】

于是

欲使f （x ）为三阶无穷小量, 必须有

解之得

, 其中等号仅在f （x ）为常

6． 设f （x ）在[a, b]上连续, 证明不等式量函数时成立.

【答案】

其中

若等号成立, 则对任何即

7． 证明:若f 及其导函数均在则

【答案】由

为f （x ）的傅里叶系数,

为

上可积, 、

, 有

,

所以f （x ）=f（y

）,

即f

（x ）为常量函数.

且成立帕塞瓦尔等式,

的傅里叶系数, 依题意, 有

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因为f 及在

上成立帕塞瓦尔等式, 所以

所以

二、解答题

8． 设曲面

S

由方程

【答

案】

在球坐标

变换:

, 其参数方程为

通过计算易知,

由此得

由曲面的对称性, 只需求第一卦限部分的面积即可. 而此时

, 所以

故S

的面积为

计算积分

而

上连续, 从而由定理知

收敛可得级数

一致收敛. , 并且由曲面方程知

所确定

, 求曲面S 的面积.

之下,

曲面S

的方程是

9． 设

【答案】由又

在