2018年西南交通大学数学学院625数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设在证明和一切
在
【答案】因为
, 都有
内成立不等式
上一致收敛且绝对收敛. 关于
为
一致收敛, 所以任给
, 所以
即
2． 证明:若
为
上的连续函数, 且对一切
对任意
.
上连续, 所以
在
有
上存在最大值M.
有
=0. 则f （x ）
其中
关于
一致收敛且绝对收敛.
, 存在
, 对任何
. 若
在
上一致收敛,
【答案】
显然
而
在
对于上面的, 有
其中
依次进行下去, 可知存在当又对一切
时, 有连续, 所以
有
, 使得
【答案】设
则
, 于是有
由假设gU ）为单调函数, 故
不变号, 从而根据推广的积分第一中值定理, 存在
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使得
所以
3． 证明:若在[a, b]上f 为连续函数, g 为连续可微的单调函数, 则存在
使得
4． 证明:任一实系数奇次方程至少有一个实根.
【答案】设有一个奇次方程为则
由
. 于是,
知,
存在正数与
,
使得
.
由
知,
存在负数
,
使得
异号. 由根的存在定理知, f （x ）=0在
内至少有一个根. 故任
, 其中
, 设
. 令
一实系数奇次方程至少有一个实根.
二、解答题
5． 设
【答案】由于
求dz.
可微，故
6． 试确定曲线
（1）（2）【答案】曲线（1）直线. （2）直线故曲线
上点； .
在x 处的切线斜率为的斜率为1. 由的斜率为2. 由
得x=1, 故曲线得
,
.
上点（1, 0
）的切线平行于直线
上哪些点的切线平行于下列直线:
的切线平行于直线y=2x—3.
7． 设a , b为给定实数. 试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解:
（1）（2）
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（3）
【答案】（1）因为由此得不等式组
不是原不等式的解, 原不等式可化为
即
即
故当当当
时, 原不等式的解是时, 原不等式的解是时, 原不等式的解集是
（2）原不等式可化为
即
故当当（3）当
时, 原不等式的解是时, 原不等式的解集是
时, 原不等式的解集是
当
时, 原不等式可化为
（i
）当（ii ）当（iii ）当
时, 原不等式的解集是
8． 在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形.
z , 则面积【答案】设三角形的三边分别为x , y ，此
其中因S
与
有相同的稳定点，考虑
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即
时, 原不等式的解是时, 原不等式的解是
，且因