2017年南京农业大学理学院628数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f (x ) 在
(1)
时，
上连续，满足：
由于f (x ) 在S 上连续，根据连续函数的性质，f (x ) 必在
和最小
值
2． 证明：曲面
续可微，常数a ，b ，c 不同时为零.
【答案】记
则
于是曲面F (ax-bz , ay-cz ) =0上任一点的法向量为
n 与某直线方向向量或
于是
当
3． 设函数，的周期为2π，且
【答案】傅里叶系数
由于f (x ) 在
上连续，由收敛定理知对
有
(2) 对任意x 和正常数c , 求证：存在S 上
的
和
使得
【答案】考虑有界闭集
那么
点分别取到它在S 上的最大
值
所以
若
记
上任意一点的切平面都与某一定直线平行，其中函数F 连
垂直当且仅当即
满
足时恒
有取1=(b ，c , a ) ，则曲
面
上任一点的切平面与1平行。
试利用，的傅里叶展开计算
的和数.
在端点x=0和处，其傅里叶级数收敛于
令有
4． 证明：反常积分
【答案】因为
在
所以有
上一致收敛.
又因为
收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法可知，反常积分
5． 试证明：函数
阶偏导数) 。
【答案】F 的等值线为故等值线在点的法向量
6． 设
在
上有连续的导函数，
，它在点的切线方程为
. 即结论成立.
证明：
【答案】令
则
由
可知，
于是有
在点
在
上一致收敛.
的梯度恰好是F 的等值线在点的法向量(设F 有连续一
二、解答题
7． 证明下列结论：
（1）
设
则
在
在
上可积；
上有定义，
且
. 存
在
上的可积函
数
使
得
（2）函数【答案】（1
）
可积，所以存在的振幅。设
为f
在
存在
的某一分割
在[0, 1]上可积。
上的可积函数
使得
使得
其中是
在小区间
因为上
上的振幅，则对分割T 有
所以在上可积。 在
上有无穷多个间断点：
与
将区
|'1
分
（2）易知
成两个区
间上有界，所以
和
. 因为在
所以在上只有有限个间断点，又存在
的分割
使得
在
把
上可积，于是对上述的分割则有
与合并构成
即
8． 讨论广义积分
【答案】改写
当
时，因为
，所以当
即当
时，积分
的收敛性与绝对收敛性.
在
上可积。
收敛，由于被积函数是正值，此收敛也是绝对收敛.
当知积分即当
时. 时，因为汷敛. 当
又当时，即当条件收敛.
时，
条件收敛；当
时，
即当时，积分
时，
所以由狄利克雷判别法绝对收敛；当
时，
综合以上结果，并由（1）式得：当绝对收敛。
9． 设S
是椭圆面
为点
的上半部分，
点到平面的距离，求
为S 在点P 的切平面
，
【答案】设(X ，Y ，Z ) 为上任意一点，则的方程为