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一、证明题

1．

设

【答案】因为

所以，当

时

在S 的外部时，由高斯公式，有

在S 上时，

如果S 在敛。

同样，取充分小的

记为以

为球心，为半径的球面，用表示从S 上被截

下而不被所包围的部分曲面，

表示上含在V 内的部分，则

其中，取内侧. 因为s 在点

是光滑的，在点

有切平面，所以S 在点(0, 0, 0)

为无界函数的曲面积分，且

收

S 为一封闭曲面

，

证明当原点在曲面S

外、上、内时分别有

是光滑的，由类似于无界函数的二重积分的讨论，可知反常积分

的附近可用这个切平面近似代替，即S 2可看作的半个球面，故

在S 的内部时，取充分小

使以

为球心，为半径的球面在V

的内部，记为S 和所围成的区域，取内侧，则

2． 设

在上连续，在

在点

内除仅有的一个点外都可导. 求证：处不可导. 分别在

上和在

上对

使得

用微分中

【答案】

设函数

值定理，

可得

其中

由此可得到

其中

3． 设

在

上可微，且对

满足

证明:【答案】

则

因此若一个点列

对

使得

另一方面，由令 4． 设

【答案】已知

且满足

. 即

证明

:

有下界又由

的极限存在，并求出其极限值.

可得

这显然与刚才的结论矛盾，所以

存在广义极限，记为L.

在

，则

上应用拉格朗日中值定理，存在

这表明在

使得

上存在

和

. 将以上两个等式相加，可得

可推出若

则

即

单调递减. 由单调有界定理，在不等式

存在，记为

可知

矛盾.

由此可见

两边，

令

再在不等式

中，令可得

5． 设

即

解之得

且

存

在

有

对任意的

，

使

得则对任意的从

而

为[0, 1]上的连续函数列，

满足

证明

在[0，1]上一致收敛.

知，对任意

的

又

由有

为[0, 1]上的连续函数列，故存

在，由开覆盖定理，存

在

【答案】

由

由此得到满足上述要求的覆盖[0, 1]的开区间

族

注意到对于每一个

存

6． 证明：当

在

时有不等式

为单调递增数列，

现令

有

【答案】令

则

于是

使得

故

因在

上递减，

且

根据积分第二中值定理，存在

二、解答题

7． 试确定a 的值，使下列函数与当

时为同阶无穷小量：

【答案】（1）当

时，