2017年北京师范大学数学科学学院955专业综合一(高等代数85分,空间解析几何65分)考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 求旋转椭球面
【答案】令
上点
处的切平面与XOY 面的夹角的余弦。
，曲面的法向量为
曲面在点
，记
处的法向量为与
的夹角为
，则所求的余弦值为
2． 已知物体的运动规律为
【答案】
3． 求函数
【答案】因为因为
，
的图形的渐近线
，所以y=0是函数图形的水平渐近线。
所以
及
都是函数图形的铅直渐近线。
，
面的法向量为
，求这物体在t=2（s ）时的速度。
4． 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集? 并分别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界.
（1） （2） （3） （4）
【答案】（1）集合是开集，无界集；导集为
，边界为
.
（3）集合是开集，区域，无界集；导集为
（4）集合是闭集，有界集；导集为集合本身，边界为
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; ;
;
. . ，
边界为
，边界为
.
（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；导集为
5． 当x 为何值时, 函数
【答案】容易知道I （z ）可导, 而
有极值。
只有惟一解x=0。当
时,
,
, 故当时为函数I （x ）的惟一的极值点（极小值点）。
-x
6． 设f （x ）是周期为2的周期函数。它在上表达式为f （x ）=e。试将f （x ）展开成复数形式的傅里叶级数。
【答案】f （x ）满足收敛定理的条件，且除了点
故
故
7． 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解：
【答案】（1
）由
解得
故对应的齐次方程的通解为
因
不是特征方程的根，故可
设
是原方程的一个特解，代入方程，得
故原方程的通解为
且有
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外处处连续，则
代入初始条件
有
即
故所求特解为
（2）由
解得
故对应的齐次方程的通解为是原方程的一个特解，代入方程得
即
于是原
因不是特征方程的根，故可设方程的通解为
且有
代入初始条件
解得
故所求特解为
（3）
由
解
得
有
故对应的齐次方程的通解
为
因
2x
不是特征方程的根，故可设
得
即
于是原方程的通解为
且有
代入初始条件
有
是原方程的一个特解，代入方程并消去e ，
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