2017年北京师范大学数学科学学院955专业综合一(高等代数85分,空间解析几何65分)考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求出曲线
【答案】因为量可取为即
，解得
上的点，使在该点的切线平行于平面
，设所求点对应的参数为
。已知平面的法向量为
和
，于是所求点为
。
，
。
，于是曲线在该点处的切向
，由切线与平面平行，得
或
2． 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置.
A （3, 4, 0），B （0，4，3），C （3, 0, 0），D （0，﹣1, 0）
【答案】在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零. 比如xOy 面上的点的坐标为（为（0，
，
）.
，0，0），y 轴上的点的坐标为（0，
，0），z 轴上点的坐标为（0，0，
）.
，
，0），xOz 面上的点的坐标为（
，0，
，yOz 面上的点的坐标）
在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为 （
A 点在xOy 面上，B 点在yOz 面上，C 点在x 轴上，D 点在y 轴上.
3． 一平面过点（1，0，﹣l ）且平行于向量a=（2，1，1）和b=（1，﹣1，0），试求这平面方程.
【答案】所求平面平行于向量a 和b ，可取平面的法向量
故所求平面为1·（x －1）＋1·（y －0）－3·（z ＋1）=0，即
x ＋y －3z －4=0
4． 单调函数的导函数是否必为单调函数? 研究下面这个例子:
【答案】单调函数的导函数不一定是单调函数。例如函数
,
且
在任何有限区间内只有有限个零点。因此函数f （x ）在
在
内却不是单调函数。
内为单调增加函
数。但它的导函数
,
由于
5． 把积
分表为极坐标形式的二次积分，其中积分区
域。
【答案】积分区域D 如图所示。抛物线y=x的极坐标方程为坐标方程为
，用射线
和
将D 分成
三部分
2
，直线y=1的极
图
因此
6． 在yOz 面上，求与三点A （3，1，2），B （4，一2，一2）和C （0，5，1）等距离的点.
，点P 与三点A ，B ，C 等距离，
【答案】所求点在yOz 面上，不妨设为P （0，y ，z ）
由即
解上述方程组，得y=1，z=﹣2. 故所求点坐标为（0，1，﹣2）
7． 求圆盘
绕y 轴旋转而成的旋转体的体积。
绕y 轴旋转所得
知
【答案】这是一个圆环面，可以看作由图形
的立体减去由图形绕y 轴旋转所得的立体，因此
8． 设f （x ）在区间[a, b]上连续，g （x ）在区间[a, b]上连续不变号，证明至少存在一点使下式成立：
【答案】不妨设
（积分第一中值定理）。
，由定积分性质可知
故有
当当
时，由上述不等式可知时，
有
，故结论成立。
，由闭区间上连续函数性质，知
存在
，
记f （x ）在[a, b]上的最大值为M 、最小值为m ，则有
，使得
从而结论成立。
二、证明题
9． 证明:双曲线
上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 。
上任一点，
曲线在该点处的切线斜
。
。
，求△OAB 的面积。
2
【答案】设（x 0, y 0
）为双曲线切线方程为
或
由此可得所构成的三角形的面积为
10．已知
【答案】由向量的几何意义知