2017年南通大学理学院702数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明
:
【答案】
故
2． 设为使
【答案】
先证
在则存
在
(
使得
矛盾，故原命题得证。
3． 设，证明
【答案】因为对于这样的当
故 4．
设
【答案】因为
所以，当
时
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上的二阶可导函数，若在上有界，则存在
上不能恒为正，也不能恒为负. 用反证法，
假设恒有
使
得
介
于
设
由泰勒定理得
，
这
与
使
使得
在则存在
这与假设
之间) . 于
是
上有界矛盾. 再用反证法证明原命题.
假设不存在
对
应用达布定理可知，
存在
所以对任给的时，
存在
使得当因此
S 为一封闭曲面
，
证明当原点在曲面S
外、上、内时分别有
在S 的外部时，由高斯公式，有
在S 上时，
如果S 在敛。
同样，取充分小的
记为以
为球心，为半径的球面，用表示从S 上被截
下而不被所包围的部分曲面，
表示上含在V 内的部分，则
其中，取内侧. 因为s 在点
是光滑的，在点
有切平面，所以S 在点(0, 0, 0)
为无界函数的曲面积分，且
收
是光滑的，由类似于无界函数的二重积分的讨论，可知反常积分
的附近可用这个切平面近似代替，即S 2可看作的半个球面，故
在S 的内部时，取充分小
使以
为球心，为半径的球面在V
的内部，记为S 和所围成的区域，取内侧，则
5．
由根式判别法证明级数
【答案】记
收敛，并说明比式判别法对此级数无效. ，则
故比式判别法对此级数无效.
又
故
由根式判别法知此级数收敛.
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6． 设f 为
(1)
(2)
上的连续函数，证明： 在在
上收敛；
上一致收敛的充要条件是
上连续，故f 在
上有界，设
所以
【答案】(1) 因f 在
即在上收敛，且收敛于
(2) 必要性
函数
因为
当
在
上连续，从而
充分性 可考虑将
故时，
上连续及
又因
分成两部分讨论.
在上一致收敛，可得其极限
处连续，故对任意
存在
当时，有
故对上述
的
当
存在N ,
当时，任意的
时，对一
切有
故
总
有所以
，
上一致收敛.
二、解答题
7． 设
【答案】
8． 求下列函数的周期：
（1）
（2）
（3）
的周期的周期是的周期
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为单位球面计算曲面积分
做
4和6的最小公倍数是12, 故
的周期是
【答案】（1）
（2）由tanx 的周期是可知，（3
）
的周期