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一、证明题

1． 1) 证明瑕积分

2) 利用上题结果，证明：

(提示：利用【答案】1) 由于则有

故

于是2)(1) 令

则

于是

故有

(2)

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收敛，且

并将它们相加. ) 所以瑕积分

收敛. 同理，

也收敛.

令

2． 证明：若函数某个小区域

当

上无界.

令

由于f 在从而

另一方面，由f 在D 上可积知：存在任一积分和

都满足

这与①式矛盾，因此f 在D 上有界.

3． 证明：

(1) 无穷积分(2) 无穷积分

【答案】利用级数法. (1) 原积分：

发散； 收敛.

*对任一 D 的分割

时，T 的

上无界，从而存在

使得

在有界闭区域D 上可积，则

在D 上有界.

，必在

【答案】假设f 在D 上可积，但在D 上无界，那么，对D 的任一分割

时，任取

而

当

时有

故

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由发散，可知发散，从而原积分发散.

(2) 类似于(1) , 有原积分而

当

时利用不等式

有

故

由

收敛，可知

收敛. 同理可证

收敛，从而

收敛. 由此可知，原积分收敛.

4． 应用詹森不等式证明：

⑴设

有

(2) 设

【答案】(1)

设

有则

其中由

可知

为区间

上严格凸函数. 根据詹森不等式有

即

因而

把这个不等式中的n 个正数换成

于是原不等式得证。 (2) 设代入

得

于是

令

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则得到

由(1) 知为凸函数，令