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一、证明题

1． 设f 是以

为周期的可积函数, 证明对任何实数c , 有

【答案】令

则

同理可证

2． 设

【答案】由

3． 证明下列级数的收敛性，并求其和:

（1）（2）（3）（4）（5）

【答案】 （1）

所以原级数收敛，且和数

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证明:

代入得

（2）

所以原级数收敛，且和数（3）

所以原级数收敛，且和数

（4）

，所以原级数收敛，且和数

（5）考察

两式相减得

故原级数的前n 项和

，所以原级数收敛且和数

4． 用定义证明:

【答案】先写出当

和

时, 有

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.

的精确数学定义.

,

具体到本题, 由于

所以

, 取

, 当

. 和

时, 有

即

5． 设函数列

和【答案】使得

因当令不妨设

收敛, 存在正整数时有

,

, 对任意正整数p 都成立, 当n>N时,

, 于是

从而

6． 设函数列

【答案】设当又设

在[a, b]上一致收敛. . 与时, ,

, 存在正整数N 0, 使得

而

, 所以

同理可证g （x ）在I 上也有界. 设其次证明

与

在I 上一致有界. 由I

整数N 1, 当n> N1时有

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在[a, b]上可导, 且存在M>0, 使得对任意正整数n 有

成立. 证明:如果级数

, 取正整数m 充分大, 将[a, b]m等分:

在[a, b]上收敛, 则必一致收敛.

.

在区间I 上一致收敛, 且对每个n

,

在I 上必一致收敛.

,

与都是I 上的有界

函数（不要求一致有界）. 证明:

首先证明f （x ）, g （x ）在I 上有界.

. ,

, 故存在正