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一、证明题

1． 设f 、g 、h 是定义在

证明: （1）若

（2）又若

【答案】（1

）因为

当

时, 便有

由题设于是, 当（2）由又因为

2． 证明:

（1）（2）

【答案】（1）由

的递减性, 有

即

从而有

依次相加得

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上的三个连续函数, 且成立不等式都收敛, 则

, 则

与

也收敛;

收敛, 所以由定理可知,

对任给

存在

.

与

，使得

可得

,

时

,

得

,

, 所以, 由迫敛性定理知,

, 再由定理知,

, 收敛.

,

由左边不等式, 得

由右边不等式, 得

综合两式有

（2）由（1）有

而

, 于是由迫敛性定理有

3． 证明:若f 在[a, b]上连续, 且

, 又若

【答案】假设对任意的

, 使与

均有

, 则在（a , b ）上至少存在两点

, 这时f 在（a , b ）上是否至少有三个零点？

f x ）, 则由连续函数根的存在定理知, （在（a , b ）或

, 这与

矛盾. 故至, 使

内恒正或恒负. 于是,

根据积分不等式性质有

少存在一点

且f （x ）在

假设f （x ）在（a , b ）内只有一个零点则

每个区间内不变号（根据连续函数根的存在定理）. 故有

在两边也异号. 所以

在两边同号,

但

由此知f （x ）在两边异号. 又函数

即g （x ）在（a , b ）内除一个零点外恒正或恒负, 从而由g （x ）的连续性可得

矛盾. 故在（a , b ）内至少存在两点, 在（a , b ）内至少存在三个零点

假设在（a , b ）内只两点

,

, 使得

, 则

即

, 且f （x

）在

, 使得

下证若

则f （x ）

每个区间内不变号. 从而由

推广的积分第一中值定理, 结合上式, 得

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即, 其中

, 所以由上式知,

. 因为 与由于

每个区间内恒异号,

f x ）从而知（在在

f x ）f x ）

两边异号, 同理可证（在两边也异号, 设（

在区间内的符号分别为正、负、正, 故h （x ）在

. 考虑函数内符号分别为正、负、正（其他情况证明类似）正. 又h

（x ）是连续函数, 所以

但

矛盾. 可见在（a

, b ）内至少有三个点

使得

二、解答题

4． 求极限

【答案】先求

为此令

, 取对数得lny=xlnx.而

故

再令,

则

而

由于

和

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（1）