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一、解答题

1． 求边长为a 密度均匀的立方体关于其任一棱边的转动惯量.

【答案】如图求, 设密度为, 则

图

2． 确定下列函数的单调区间:

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）（x ）递减.

（2）f （x ）的定义域为因此在

（3）f （x ）的定义域为在

和

3． 展开函数

上,

（4）f （x

）的定义域为

上均为单调递增.

.

,

, 导函数为:

递减; 在, f （x ）递减.

,

故

在定义域上恒正, f （x

）在

.f （x ）递増 , 故在[0, 1]上,

递增;

.

. 故在

上,

. , f （x ）递增在

上,

f

；

为正弦级数, 并指出当【答案】将f （x ）作以

时, 此级数之和. 为周期的奇延拓,

故对

4． 设

（1）试求以（2）计算【答案】（1）因所以

其中

, .

. 当时, 上述级数收敛于.

为自变量的反函数组；

所以

（2）

5． 设函数f （x ）满足条件:性？

【答案】因为n=l, 2, …时

问此函数在上的傅里叶级数具有什么特

所以

同理可得

6． 计算下面的三重积分:

（1）（2）其中:

.

即f （x ）在内的傅里叶级数的特性为

【答案】（1）作柱坐标变换:则

（2）作新坐标系交变换（从

坐标系

, 使轴过点（a , b , c ）, 且使坐标系到坐标系Oxyz 之间的变换为正

到坐标系Oxyz 之间的, 则由（1）知

→坐标系Oxyz 可通过旋转变换来实现, 因此从坐标系

正交变换是存在的）, 变换的行列式为1.

显然该变换将半径为R 的球仍变为半径为R 的球. 记

二、证明题

7． 利用导数定义证明

:

【答案】

8． 设

并且对于任何

, 则有

对上式两边同时求导, 得

即

9． 设

于是对两边取转置又得证明对于这样的当

故

.

有常数, 证明

【答案】设

.

所以对任给

的

时,

, 存

在

使得

当

因此

时

【答案】因

为