当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设f 在有界开集E 上一致连续, 证明:

（1）可将f 连续延拓到E 的边界； （2）f 在E 上有界. 【答案】记⑴若

空, 任取

（ii

）若任给

于是对上述的故（iii

）若 则

从而当n> N时,

因此由①知

再由（ii ）知故由③知

由（i ） - （ii ）知:对每个P 的点列）. 定义

则F 为定义在E 上的函数. 显然F 为f 到上的一个延续. 下证F 在上连续.

设

时

,

则

或是

当

时, 由E 为开集知,

存在

于是当

|

因为f 在P 0连续, 从而

第 2 页，共 45 页

为E 的边界,

使

则

且

当

且

i

分以下几步证明.

事实上, 若

也存在. 事实上, 由f 在E 上一致连续可知:对

①

时,

时

从而由①知

则对任一

非

则

存在, 则

,

存在

. 存在N , 当

存在.

且

收敛, 部

由②知存在N , 使当时,

②

与

.

存在惟一实数

与之对应（其中

都存在.

③

为E 中任一收敛于

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

可见F 在P 0连续. 当由（iii ）知

故由归结原则（定理的推论）知,

存在且等于

, 故F 在P 0连续.

反是有界闭集且

,

由此可见:F 是f 的一个连续延拓, 即f 可以连续地延拓到E 的边界上, 由于F 在上连续

, 从而F 在

上有界,

因此F 在E

上有界, 而在E 上

故f 在E 上有界.

2． 设

【答案】因为

所以

2

3． 设f 在R 上分别对每一自变量x 和y 是连续的, 并且每当固定x 时f 对y 是单调的, 证明:f 是R 上的

二元连续函数.

【答案】设从而 对于点故对上述的 令

则当及存在

使

时,

f x

, y ）时, 由于（关于y 单调, 所以有

于是由①、②、③知:

故当

因此. f（x , y ）在点数.

第 3 页，共 45 页

2

|时其中为E 中趋于P 0的点列, 对E 中任一趋于P 0的点列

,

，证明:

为函数f （

x , y ）的定义域内的任意一点.

由于f （x , y ）关于y 连续, 连续, 故对任给的

存在

使当

由于f （

x , y ）关于x 连续, 从而

时, 就有

①

在连续,

②

③

在

时, 就有

处是连续的. 由点

的任意性可知f （x , y ）是内的二元连续函

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

4． 证明公式

,

其中S 是包围V 的曲面, n 为S 的外法线方向【答案】因

则由第一、二型曲面积分的关系及高斯公式可得

因此公式成立.

5． 证明:若二元函数f 在点上连续.

【答案】由内成立, 由于

其中 6． 设

【答案】

由题设

可知

于是原命题得证.

证明:

介于1与之间.

所以对任意的正数, 存在

故f 在U （P ）内连续.

当

时, 有

在U （P ）内有界, 设此邻域为

存在M>0, 使

在

1

的某邻域U （P ）内的偏导函数与有界, 则f 在U （P ）

而

二、解答题

7． 求下列全微分的原函数:

（1）（2）

第 4 页，共 45 页

【答案】（1）因d （xyz ） =yzdx+xzdy+xydz, 故原函数为u （x , y , z ） =xyz+C