2017年长春理工大学理学院概率论基础复试之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
目录
2017年长春理工大学理学院概率论基础复试之概率论与数理统计考研复试核心题库（一） . .... 2 2017年长春理工大学理学院概率论基础复试之概率论与数理统计考研复试核心题库（二） . .... 7 2017年长春理工大学理学院概率论基础复试之概率论与数理统计考研复试核心题库（三） . .. 12 2017年长春理工大学理学院概率论基础复试之概率论与数理统计考研复试核心题库（四） . .. 19 2017年长春理工大学理学院概率论基础复试之概率论与数理统计考研复试核心题库（五） . .. 25
第 1 页，共 30 页
一、计算题
1． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
求E （X ）, E （Y ）, Cov （X , Y ）. 【答案】
2． 设试求概率
为独立同分布的随机变量, 共同分布为U （0, 5）. 其算术平均为
,
【答案】由均匀分布U （0, 5）可算得
利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可得
这表明:来自均匀分布U （0, 5）的48个随机数的平均在2到3之间的概率近似为0.9836, 较接近于1.
3． 有三个人，每个人都以同样的概率1/5被分配到五个房间中的任一间中，试求：
（1）三个人都分配到同一个房间的概率； （2）三个人分配到不同房间的概率.
【答案】“三个人分配到五个房间”的所有分法数为房、都在四号房、都在五号房，共5种可能. 所以
（2）若事件B=“三个人分配到不同房间”发生，则第一个人可分配到五个房间中的任一间，而第二个人只可分配到余下的四个房间中的任一间，第三个人只可分配到余下的三个房间中的任一间. 因此事件B 有
种可能，所以
第 2 页，共 30 页
这是分母.
（1）因为事件A=“三个人都分配到同一个房间”包括：都在一号房、都在二号房、都在三号
注：可将此题看成是3个（可辨的）球放入5个（可辨的）盒子中的盒子模型.
4． —个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中有k 个白球，求罐子里黑球数和白球数之比R 的最大似然估计.
【答案】解法1 记P 为罐子中白球的比例，令Xi 表示第i 次有放回抽样所得的白球数，
则
，故p 的最大似然估计为
因为黑球数与白球数比值
根据最大似然估计的不变性，有
对具体的样本值即n 个抽到k 个白球来讲，R 的最大似然估计为从中有放回的抽一个球为白球的概率为
从罐中有放回的抽n 个球，可视为从二点分布
表
中抽取一个样本容量为n 的样本. 当样本中有k 个白球时，似然函数为
， 其对数似然函数为InL （R ）=（n-k ）lnR-nln （1+R）将对数似然函数对R 求导，并令其为0, 得似然方程解之可得
所以
由于其对数似然函数的二阶导数为
是R 的最大似然估计.
即罐中黑球数与白球数之比的最大
解法2 设罐子里有白球1个，则有黑球R1个，从而罐中共有（1+R）1个球.
譬如，在n=10, k=2场合，R 的最大似然估计
似然估计为4, 若白球1个，黑球为4个；或者白球2个，黑球为8个等.
5． 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率为
i=l，2，3，以X 表示3个零件中合格品的个数，求
【答案】记事件
3. 则因为. 为“第i 个零件是不合格品”，i=l，2，
所以
6． 从数字0, 1, …, n 中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望.
【答案】记X 与Y 分别为第1次和第2次取出的数字, 则
第 3 页，共 30 页
而
所以
7． 某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：h ）都服从同一指数分布，密度函数为
试求：此仪器在最初使用的200h 内，至少有一个此种电子元件损坏的概率. 【答案】设Y 为仪器在最初使用的200h 内，损坏的元件个数，则
所以至少有一个电子元件损坏的概率为
8． 设
是来自帕雷托（Pareto ）分布
,
的样本（a>0已
其中
知）, 试给出的充分统计量.
【答案】样本的联合密度函数为
令都是 9． 设
【答案】一方面
另一方面
第 4 页，共 30 页
,
取
的充分统计量.
, 由因子分解定理
,
或
二、证明题
证明：
相关内容
相关标签