2017年长沙理工大学F1003概率论与数理统计复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2.两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本. 但赌博在中途被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本：
（1）甲、乙两个赌徒都各需赢k 局才能获胜；
（2）甲赌徒还需赢2局才能获胜，乙赌徒还需赢3局才能获胜； （3）甲赌徒还需赢n 局才能获胜，乙赌徒还需赢m 局才能获胜. 【答案】按甲、乙最终获胜的概率大小来分赌本.
（1）在这种情况下，甲、乙两人所处地位是对称的，因此甲、乙最终获胜的概率都是1/2，所以甲得全部赌本的1/2，乙得全部赌本的1/2.
（2）最多再赌4局必分胜负，若以事件表示再赌下去的第i 局中甲赢，i=l，2，3，4，则
所以甲得全部赌本的11/16，乙得全部赌本的5/16. （3）再赌n+m-1局必分胜负，共有此n+m-1局中至多赢m —1局，这共有
种等可能的情况，而“甲最终获胜”意味着：乙在
种等可能的情况，若记
则
所以甲得全部赌本的
乙得全部赌本的
2． 测得一组弹簧形变x （单位：cm ）和相应的外力y （单位：N ）数据如下：
表
由胡克定律知
试估计k ，并在x=2.6cm处给出相应的外力y 的0.95预测区间.
【答案】已知k 的最小二乘估计为
在题中已经给
出的均值和方差分别为k
和
又
所
以
且两者独立，从而有
从
而
其中
因此的预测区间为其中
此处，由样本数据可计算得到
从而
而x=2.6cm相应的外力的预测值为
当
时，查表知
故
因而得到的预测区间为
3． 一辆重型货车去边远山区送货. 修理工告诉司机，由于车上六个轮胎都是旧的，前面两个轮胎损坏的概率都是0.1，后面四个轮胎损坏的概率都是0.2，你能告诉司机，此车在途中因轮胎损坏而发生故障的概率是多少吗？
【答案】此车在途中因轮胎损坏而发生故障意味着车上的六个轮胎至少有一个发生故障，为此记事件
为“第i 个轮胎发生故障”，其中i=l，2，表示前面两个轮胎，i=3，4，5，6表示后
又假设车上
4． 100件产品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品. 从中任取5件，以X 、Y 分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求（X ，Y ）的联合分布列.
（1）不放回抽取；（2）有放回抽取.
j 件二等品，【答案】（1）这是一个三维超几何分布，若取出的5件中有i 件一等品、则有5—i 一j 件三等品，所以当
时，有
面四个轮胎，
则
的六个轮胎工作是独立的，则所求概率为
用表格形式表示如下：
表
1
行和就是X 的分布h （5，100，50）（超几何分布）.
列和就是Y 的分布h （5，100，30）（超几何分布）
.
j 件二等品，（2）这是一个三项分布，若取出的5件中有i 件一等品、则有5—i —j 件三等品，所以当
时，有
用表格形式表示如下：
表
2
行和就是X 的分布b （5，0.5）. 列和就是Y 的分布b （5，0.3）
.
5． 假定电话总机在某单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次数如下：
在显著性水平0.05下能否认为该单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p 值. 【答案】以X 记电话总机在该单位时间内接到的呼叫次数，可认为设为
，则要检验的假