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一、证明题

1． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为

的泊松分布.

【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有

这表明：Y 服从参数为

的泊松分布.

2． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有

（1）（2）（3）且从（1）在

则

所以

（2）

（3）

3． 证明下列事件的运算公式：

（1）

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，

【答案】因为p （X ）是一个偶函数，所以P （-x ）=P（x ）

（2）【答案】⑴（2）利用（1）有

4． 设随机变量

【答案】若随机变量而

所以

证明

则

也服从

从而

这就证明了

5． 设总体X 的密度函数为

为容量为5的取自此总体的次序统计量, 试证

【答案】

先求

的联合密度为

下求

的联合密度, 为此, 令

其雅可比行列式的绝对值为

. 由

得

另外, 我们还可以求出边际密度,

类似可求得

显然

这就证明了

独立.

6． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.

【答案】因为

, 所以

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与相互独立.

所以

的联合密度. 由于总体X

的分布函数为

于是

令则的逆变换为此变换的雅可比行列式为

所以（U , V ）的联合密度函数为

由此得U=XY的边际密度函数为

这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.

7． 设

，试证

：

【答案】因为X 的密度函数为

又因为Y=In X 的可能取值范围为单调增函数，其反函数为

且

是区间

上的严格

所以Y 的密度函数为

这正是的密度函数.

8． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：

[2]设随机变量X 取

值

【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为

同理可证，

由上题的结论知

[2]仿题[1]有

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的概率分别

是证明

：