当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 从数字0, 1, …, n 中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望.

【答案】记X 与Y 分别为第1次和第2次取出的数字, 则

所以

2． 设

是来自几何分布的样本，总体分布列为

θ的先验分布是均匀分布U （0，1）. （1）求θ的后验分布；

（2）若4次观测值为4, 3, 1，6, 求θ的贝叶斯估计. 【答案】（1）样本和θ的联合密度函数为

于是

因此，θ的后验分布为

（2）当有观测值为4, 3, 1，6时，θ的后验分布为Be （5, 15）, 若采用后验期望估计，

则有

3． 甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军. 而每次比赛双方取胜的概率都是1/2，现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率.

，事件【答案】记事件A ，B ，C 分别为“甲、乙、丙获冠军”

第 2 页，共 32 页

分别为“第i 局中甲、

乙、丙获胜”. 则

因为甲、乙两人所处地位是对称的，所以P （B ）=P（A ）=5/14. 由此又可得P （C ）=1-P（A ）-P （B ）=4/14=2/7.

即甲得冠军的概率5/14，乙得冠军的概率5/14，丙得冠军的概率2/7.

4． 设随机变量X 的密度函数为

试求

【答案】因为

所以

由此得

与

的相关系数, 其中a , b , c , d 均为

5 己知随机变量X 与Y 的相关系数为ρ, 求．非零常数.

【答案】先计算然后计算

与

的方差与协方差

.

与的相关系数

.

所以当a 与c 同号时

而当a 与c 异号时

6． 设

是来自

【答案】由于

所以

的值依赖于

第 3 页，共 32 页

的样本, 试确定最小的常数c , 使得对任意的

它是的函数, 记为

有

于是,

其导函数为

其中值, 即

于是, 只

要

. 最小的常数为

就可保证对任意

的

有

表示N （0, 1）的密度函数, 由于

这说明

故

从而

为减函数, 并在

处取得最大

7． 将一枚硬币重复掷n 次, 以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 试求X 和Y 的协方差及相关系数.

【答案】因为

这表明:X 与Y 间是完全负相关. 这个结论早就蕴含在线性关系式X+Y=n之中.

8． 设猎人在猎物100m 处对猎物打第一枪，命中猎物的概率为0.5. 若第一枪未命中，则猎人继续打第二枪，此时猎物与猎人已相距150m. 若第二枪仍未命中，则猎人继续打第三枪，此时猎物与猎人已相距200m. 若第三枪还未命中，则猎物逃逸. 假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比，试求该猎物被击中的概率.

【答案】记X 为猎人与猎物的距离，因为该猎人命中猎物的概率与距离成反比，所以有

又因为在100m 处命中猎物的概率为0.5，所以0.5=P（X=100）=k/100，从中解

得k=50.若以事件A ，B ，C 依次记“猎人在100m 、150m 、200m 处击中猎物”，则

因为各次射击是独立的，所以

且

所以

二、证明题

9． 设随机变量X 与Y 相互独立, 且方差存在。证明:

【答案】

第 4 页，共 32 页