当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设随机向量（

令

证明:

两两不相关的充要条件为

则

同理可得

由此得必要性:若由此得

2． 证明下列事件的运算公式：

（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有

3． 设随机变量

【答案】若随机变量而

这就证明了

第 2 页，共 40 页

）间的相关系数分别为且

【答案】充分性:若

两两不相关.

两两不相关, 则由上面的推导可知

所以

证明

则

也服从

从而

4． 设随机变量独立同分布, 且试用特征函数的方法证明:

【答案】因

为

, 这正是伽玛分布

, 所以由

诸的相互独立性

得特征函数为

的特征函数, 由唯一性定理知

5． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.

【答案】设总体玛分布

，其密度函数为

则的后验分布为

，其中已知，

为其样本，取

的先验分布为倒伽

即

值已知）的共轭先验分布.

6． 设X 为非负连续随机变量，若

（1）（2）

这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差（均

存在，试证明：

【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利

用

得

（2）因为X 为非负连续随机变量，所以

也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

令

则

第 3 页，共 40 页

7． 设

是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，

在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？

（1）（2）（3）

【答案】先求三个统计量的数学期望，

这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为

不难看出

由此可推测。当用样本的凸组合

从而

的有效性最差.

则

估计总体均值时，样本均值是最有效的。

则X 与Y 有函数关系. 试证:X

8． 设随机变量X 服从区间（一0.5, 0.5）上的均匀分布, 与Y 不相关, 即X 与Y 无线性关系.

【答案】因为

所以

即X 与Y 不相关.

二、计算题

9． 设

为取自两点分布b （1，p ）的随机样本.

的水平

的检验.

（1）试求单边假设检验问题【答案】（1）检验的拒绝域的形式为

（2）若要这个检验在p=0.08时犯第二类错误的概率不超过0.10, 样本容量n 应为多大？

其中c 满足以下两式：

第 4 页，共 40 页