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一、证明题

1． 若

【答案】因为

证明

：

所以得P （AB ）=P（B ）. 由此得

结论得证.

2． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布则

【答案】二项分布因为而

的特征函数为, 所以当

时,

则

正是泊松分布的特征函数, 故得证.

3． 证明公式

其中

其中

,

【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.

注意到将等式右边的求导可给出_

而对

k=0.

对

其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,

也为

明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证.

4． 设, 诸独立, 是已知常数, 证明（

【答案】

）是充分统计量.

的联合密度函数为

注意到

是已知常数, 令

取

由因子分解定理, （

5． 若

【答案】由

试证

：

得

所以得

即

所以

即

由此得

即

这就证

）是（

）的充分统计量.

6． 设证:

【答案】注意到

故

证明完成.

7． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明：

【答案】

8． 设随机变量

【答案】若随机变量而

这就证明了

证明

则

也服从

从而

为一个样本,

是样本方差, 试

二、计算题

9． 测量到某一目标的距离时，发生的随机误差X （m ）具有密度函数

求在三次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率. 【答案】记Y 为三次测量中误差的绝对值不超过30m 的次数，则测量中误差的绝对值不超过30m”的概率，由

其中P 为“一次

可知