2018年南京理工大学理学院616数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】由上确界定义, 对
证明:存在
使使
又由
由迫敛性得
2．
设级数
与级数\
都发散，
试问
与
两级数均发散，但又如，（2）当
与
，即
，两级数均发散，且均非负时，则
收敛.
发散.
一定发散. 这是因为:由
而由
与
非负有
由柯西准则知
3． 设
在点
发散. 存在,
在点
在点
连续, 证明f （x , y ）在点
其中
. 于是有
连续, 所以
当
第 2 页，共 37 页
成立
一定发散吗？又若与都发散时
，
都是
非负数，则能得出什么结论？
【答案】（1）
当
不一定发散.
如
发散知存在
吋任意自然数N ，总存在自然数m （m>N）和p 使
可微.
【答案】因为存在, 由一元函数的可微性知
令
时有
, 从而
. 因为fy （x , y ）在
点
, 即
故f （x , y ）在点
4． 设f （x
）在明:
可微. 上连续
,
, 且f （x ）在x=a处达到最小值f （a ） 至少在两点达到最小值. 【答案】由题设知f （x ）在函数的介值性知, 所以 , 使得 , 使得显然 上的值域为 . 再由（f x ）在, 但 , 即F （x ）至少在两点达到最小值. 5． 设f 为 上可积函数, 证明:若f 的傅里叶级数在 上一致收敛于f , 则成立帕塞瓦尔. 又因为 上的值域也是 , 由连续 , （Parseval ）等式: 这里, a n , b n 为f 的傅里叶系数. 【答案】设 因为f （x ）的傅里叶级数在 故对上述的 所以 从而, 由式（*）可得 6． 求证: 在 上一致收敛. , 可得 又方法二:记情形 . 第 3 页，共 37 页 上一致收敛于f , 所以, 任给 存在N , 当m>N时, 有 当m>N时, 【答案】方法一:由 收敛, 由M 判别法即得原级数在 , 先求函数 上一致收敛. 的 的最大值, 由于知u n （x ）为奇函数, 只需讨论 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 又 , 故 是函数 的最大值点. 因此 二、解答题 7． 试求下列极限（包括非正常极限）: （1）（2 ）（3 ）（4）（5）（6 ）（7） 【答案】（1 ）因为当 时 , 故 （2）原式 =（3）原式== = （4）由于当 时, 又因为 从而当 时, 故原式=＋∞ （5）因为 故 第 4 页，共 37 页
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