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一、解答题

1． 设

令

（1）f （x ）在

. 求证:

上可导, 且导数只在

处不连续; 处不连续.

,

且

, 所以由连续性定理

知

（2）f （1）在（0, 1）上可导, 且导数只在【答案】（1）因

为

. 又当

时,

因此在上连续, 且, 从而

在上一致收敛. 于是函数在

上可导, 且

又因为在上可导, 导数在点处不连续, 所以

在（2

）

上可导, 且导数只在点处不连续.

, 故由（1）知f （x ）在（0, 1）上可导, 且导数只在

点

处不连续.

2． 讨论反常积分

【答案】当

时, 对一切

的敛散性.

有

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而发散,

故当所以

3． 计算积分

发散, 从而

时, 对一切

收敛, 又

有

发散.

而

存在, 故

收敛.

收敛,

, 其中D 是x=0, y=l, y=x围成的区域.

【答案】由题意知, 所求的积分为

4． 判别下列级数的收敛性:

【答案】（1）达朗贝尔判别法, 因为

所以

不存在.

-显然发散.

, 由柯西判别法知此级数收敛. 本题不能应用

⑵当a=1时, 级数当0

级数收敛.

当a>1时, 因为

所以根据柯西判别法知级数收敛.

5． 设质点受力作用, 力的反方向指向原点, 大小与质点离原点的距离成正比, 若质点由（a , 0）沿椭圆移动到（0, 6）, 求力所作的功.

【答案】椭圆的参数方程为:

由于力的反方向指向原点, 则:（设k 为比例系数）

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则

6． 设

其中0＜k ＜l （这两个积分称为完全椭圆积分）.

（1）试求E （k ）与F （k ）的导数, 并以E （k ）与F （k ）表示它们;

（2）证明E （k ）满足方程

【答案】（1）

易证

故有

即

（2）对（1）中①式求k 的导数后, 再将①式代入得

由①, ②有

代入上式后得

二、证明题

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①

②