2018年南昌航空大学数学与信息科学学院609数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
在点
存在,
在点
在点
连续, 证明f （x , y ）在点
其中
. 于是有
连续, 所以
当
故f （x , y ）在点
2． 求证:
（1）（2）序列【答案】（1）令
是最小值点
（2）显然序列
调递增, 为了证明极限
, 则有
存在, 只要肯定序列
有上界即可.
;
的极限存在.
, 且
可微.
可微.
【答案】因为
存在, 由一元函数的可微性知
令
时有
, 从而
. 因为fy （x , y ）在
点
, 即
为此利用第（1）小题, 有
3． 若f （x ）在R 上存在三阶连续导数, 且
, 有
*
证明:f （x ）至多是二次多项式. 【答案】只需证:将
在X 处作泰勒展开
将上两式代入所给的等式中, 比较两端可得
当
时, 有
由三阶导数的连续性, 有
4． 证明:
对
一致收敛.
【答案】这个积分有无穷多个奇点, 所以需要将这个积分写成级数形式
.
（令
对I 1而言, t=0为奇点. 由对I 2而言,
综上可知,
5． 设f （x ）在[0, 1]上连续，且收敛.
【答案】对任意的存在使得当从而
6． 设
定义在闭矩形域
固定的，因为
收敛，所以
从而
，
由于f （x ）在[0, 1]上连续，所以f （x ）在[0, 1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，
使f （x 0）为f （x ）在[0, 1]上的最大值，从而存在时
，
由于
收敛，故该级数在[0, 1]上绝对且一致收敛. 上, 若f 对y 在
上处处连续, 对X 在（a , b]上（且
当
,
且
的任何y ,
只要
在[0, 1]上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致
为奇点. 由
在[0, b]上一致收敛.
及及
（b < 1）的收敛性知, I1在[0, b]上一致收敛. （6 < 1）的收敛性知, I2在[0, b]上一致收敛.
）
关于y ）为一致连续, 证明f 在S 上处处连续.
【答案】
设
时, 有且
现取
便有
只要
f
为y 的连续函数,
故对
也存在
对满足
又由于对x 关于y 为一致连续. 故对上述
时, 总有
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因此, f 在S 上连续.
二、解答题
7． 求下列函数在指定点的高阶导数:
（
1）
（2
）【答案】（1）
,
（2）
8． 设算
并求
为可微函数
,
在
处的值.
则
（1）
（2）
9． 设a>0, 求曲线
【答案】设
上的点到xy 平面的最大与最小距离.
为曲线上任一点, 易知z>0, P 到xy 平面的距离d=z, 构造拉格朗日函
, 求
,
求
,
,
, ,
,
, ,
,
；
,
.
并有方程
试对以下两种形式分别计
（1
）由方程确定的隐函数（2）由方程确定的隐函数【答案】令
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