2018年辽宁工程技术大学应用数学630数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设x , y
,
令求驻点：
,
求
的最大最小值.
【答案】（1）先考查内部情形，利用求条件极值的拉格朗日乘数法
显然要有
或
当
时，由
此时无解；
当
时，由
，
sin xcosy+cosxsiny = sinz
在驻点处的值：
虽然
是不定矩阵，但不能否定内部达极值.
注
：矩阵
HL 正定、负定只是条件极值的充分条件，而非取到条件极值的必要条件. （2）再讨论边界上的几种情况： 1
）32
）
3）
（
3）综合以上所得，
值为最小值为1.
2． 设
求
【答案】
3． 计算第二型曲面积分
【答案】显然
因球面的外侧单位法向量为
及
在
上的最大
所以
4
． 试问函数
在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论, 为什么?
【答案】显然, f （x ）和g
（x ）在区间[-1, 1]上连续, 在区间（-1, 1）内可导,
,
, 所以,
柯西中值定理的第3个条件（不同时为零）得
不到满足, 不能应用柯西中值定理得到相应的结论.
5． 计算积分
其中S : x+y+z=t,
【答案】将z=t－
x －y 代入
整理可得:
由此可知, 当当
时, 平面
S 在球
内;
之外, 所以
显然当
时.F
（t ） =0,
所以只需计算
时的积分:
其中D 是式（1）所表示的区域. 作变换
则D 变为
:
其中
. 于是
对式（3）右边进一步计算得
时, 平面
S 在球