2018年南方医科大学公共卫生与热带医学学位分委员会617数学综合之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
点集存在
又且
其中
与
在xy 平面中的点集E 上一致连续；与把点集E 映射为平面中的
在E 上一致连续.
,
就有
存在
, 因此
故复合函数
在E 上一致连续.
阶连续导数, 且
在U （a ; h ）内的泰勒公
证明:
f 在U （a ; h ）内的带佩亚诺型余项的泰勒公式为
式减
式, 得
两边同除以
得
两边取极限得
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在D 上一致连续, 证明:复合函数
【答案】设点
, 使对一切
只要
为D 上任意两个点. 由于在D 上一致连续, 从而对任给的
在E 上一致连续, 因此, 对上述的时, 有
使当
2． 设h>0, 函数f 在U （a ; h ）内具有式为
【答案】f 在U （a ; h ）内的带拉格朗日型余项的泰勒公式为
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即
3． 分别用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明:若f （x ）在[a, b]上有定义, 且在每一点
极限都存在, 则f （x ）在[a, b]上有界.
【答案】（1）利用有限覆盖定理证明:由已知, 使得在
内有
, 即
以此构造闭区间[a, b]的一个开覆盖.
f
x ）（2）利用致密性定理证明:反证法. 假设（在[a, b]上无界, 则对任意正整数n , 存在使得设
. 于是得到数列, 则
, 矛盾
, 由致密性定理
,
中存在收敛子列
,
,
, 设
则
,
（3）利用区间套定理证明:反证法. 假设f （x ）在[a, b]上无界, 则利用二等分法构造区间套
,
使得f （x ）在每个区间上无界.
由区间套定理,
存在唯一的
然后讨论f （
x ）在点f 邻域内的有界性, 推出矛盾. 4．
设
【答案】根据题意可知
又
所以从而设
5． 设
证明:f 在D 上连续, 但不一致连续.
【答案】显然, f 在D 上是连续的, 仅证f 在D 上不一致连续.
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证明:极限存在并求之.
单调递增有上界
由单调有界定理知极限存在.
两边取极限得
解得
即
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取当
无论及
时,
取得多么小, 当
取到某个, n 时, 总能使
从而f
（x , y ）在D 上不一致连续.
6． 叙述（1）有限覆盖定理和（2）魏尔斯特拉斯（Weierstrass ）定理（致密性定理）, 并用（1）证明（2）.
【答案】⑴有限覆盖定理:若个开区间来覆盖[a, b].
（2） Weierstrass 定理（致密性定理）:有界数列必存在收敛子列.
反证法.
设数列则对任意的由此可知, 存在显然
为
在
不是
若
中无收敛子列,
中的有限项.
中存在有限个开区间
根据项,
这与
的构造性质可知, 中,
中也只含有
中的有限项, 从而[a, b]中也只含有
中的有限
中任意一子列的极限.
中至多只含有
为闭区间
的一个（无限）开覆盖, 则在
中必存在有限
于是得一满足上述条件的开区间族
的一个开覆盖, 由有限覆盖定理,
矛盾, 所以结论得证
.
二、解答题
7． 利用迫敛性求极限:（
1）
【答案】（1）因为于是
而
由迫敛性得
（2）因为
所以当
时
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（2）所以当
时