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一、计算题

1． 设随机变量X 服从区间（1，2）上的均匀分布，试求

【答案】X 的密度函数为

2）由于X 在（1，内取值，所以2）上为严格单调増函数，其反函数为函数为

2． 从数字0, 1, …, n 中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望.

【答案】记X 与Y 分别为第1次和第2次取出的数字, 则

所以

3． 已知正常成年男性每升血液中的白细胞数平均是夫不等式估计每升血液中的白细胞数在

至

标准差是之间的概率的下界.

试利用切比雪

的可能取值区间为1

，且

且

所以

在区间（1，

的密度

的密度函数.

【答案】记X 为正常成年男性每升血液中的白细胞数，由题设条件知

所以由切比雪夫不等式得

4． 一个系统由多个元件组成，各个元件是否正常工作是相互独立的，且各个元件正常工作的概率为p. 若在系统中至少有一半的元件正常工作，那么整个系统就有效. 问p 取何值时，5个元件的系统比3个元件的系统更有可能有效？

【答案】记X 为5个元件的系统中，正常工作的元件数；Y 为3个元件的系统中，正常工作的元件数. 则X 〜b （5，p ），Y 〜b （3，p ）.

对X 而言，系统有效的概率为

对Y 而言，系统有效的概率为

根据题意，求满足下式的P :

即

上述不等式可简化为从而有

5． 设求样本均值

和

【答案】

因而得

6 某市要调查成年男子的吸烟率, 特聘请50名统计专业本科生做街头随机调查, 要求每位学生调．

查100名成年男子, 问该项调查的总体和样本分别是什么, 总体用什么分布描述为宜？

【答案】（1）总体是该市所有成年男子（的吸烟情况）； （2）样本是被调查的5000名成年男子（的吸烟情况）； （3）总体分布为二点分布

7． 设

（1）（2）【答案】⑴

和

是两组样本观测值, 且有如下关系

:

和

间的关系.

试

间的关系以及样本方差

其中p 为该市成年男子的吸烟率.

是来自N （8, 4）的样本, 试求下列概率

（2）

8． 从指数总体

抽取了40个样品, 试求

的均值为

的渐近分布. 方差为

于是

的渐近分布为

【答案】由于指数总体

二、证明题

9． 设（

【答案】

）是充分统计量.

的联合密度函数为

注意到

是已知常数, 令

取

由因子分解定理, （ 10来自正态总体．对称, 且

【答案】记正态分布的样本中位数

的密度函数为

令

此变换的雅可比行列式的绝对值

于是y 的密度函数为

, 诸独立, 是已知常数, 证明

）是（

的容量为

）的充分统计量.

证明

的密度函数关于

的样本中位数是

f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（