2017年曲阜师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设时,
为一独立同分布的随机变量序列, 已知
近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.
【答案】因为
为独立同分布的随机变量序列, 所以
也是独立同分布的随机变量序列.
试证明:当n 充分大
根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为
2． 设X , Y 均为（0, 1）上独立的均匀随机变量, 试证:
【答案】因为（X , Y ）的联合密度函数为
所以
3． 设随机变量
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知, （3）由（2）
知
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, , 且X 与Y 相互独立, 令
所以
因为X 与Y 相互独立, 所以
由此得
4． 设随机变量序列UJ 独立同分布, 其密度函数为
试证:
【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即
5． 若
【答案】由
时, 有
当, 结论得证.
试证：
得
所以得
即
所以
即
由此得
即
6． 令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明
：
【答案】
时, 有
令
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7． 证明:对任意常数c , d , 有
【答案】
由
得
因而结论成立.
8． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有
（1）（2）（3）且从（1）在
则
所以
（2）
（3）
，
【答案】因为p （X ）是一个偶函数，所以P （-x ）=P（x ）
二、计算题
9． 设指数分布
中未知参数的先验分布为伽玛分布
的均值和方差分别为
现从先验信息得知：先验均由已知条件，可建立如下方
值为0.0002，先验标准差为0.01，试确定先验分布.
【答案】由于伽玛分布
程组
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