2017年曲阜师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有
（1）（2）（3）且从（1）在
则
所以
（2）
（3）
2． 设不是有效估计.
【答案】设
是0的任一无偏估计，则
即
将（*）式两端对求导，并注意到
有
这说明
求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它
，
【答案】因为p （X ）是一个偶函数，所以P （-x ）=P（x ）
我们将（**）式的两端再对H 求导，得
由此可以得到则
从而，进一步，不等式的下界.
3． 若
【答案】由
为的UMVUE.
C-R 下界为
故此UMVUE 的方差达不到C-R
记
试证：
得
所以得
即
所以
即
由此得
即
4 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:．（0, 1）相互独立.
【答案】设
则
所以
•由此得
和V=X/Y的联合密度为
所以
5． 设
的样本, 证明
可分离变量, 即U 与V 相互独立. 是来自几何分布
是充分统计量.
其分布列为
在给定T=t后, 对任意的一个样本
, 有
【答案】由几何分布性质知,
该条件分布与无关, 因而
是充分统计量.
这个条件分布是离散均匀分布, 可用等可能模型给其一个解释:设想有n —1个“1”和t 个“0”, 把它们随机地排成一行, 并在最后位置上添上1个“1”, 譬如
这n 个“1”把此序列分成n 段, 每段中“0”
的个数依次记为且
我们指出, 此种序列共有
, 这就是在
这里诸服从几何分布,
, 而每一个出现是等可能的, 个（这是重复组合）
给定后
的条件联合分布.
即每一个出现的概率都是
这个条件分布还表明:
当已知统计量（
统计量的真实含义.
6． 设
是总体
的值t 后, 就可按此条件分布产生一个样本
）, 它虽与原样本不尽相同, 但其分布相同. 在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分
的简单随机样本，
记
（I ）证明T 是（II ）当
的无偏估计量； 时，求DT 。
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