2017年淮北师范大学近世代数、概率论与数理统计(同等学力加试)之概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 有两台机器生产同种金属部件，分别在两台机器所生产的部件中各取一容量为m=14和n=12的样本，测得部件质量的样本方差分别为平
下检验假设
若
，此处，检验
，设两样本相互独立，试在显著性水
【答案】这是一个关于两正态总体方差的单侧检验问题，由所给条件算得取显著性水平
可求得临界值为
，拒绝域为此值，如，在Matkb 中输入finv （0.95.13.11）即可给此值）统计量未落入拒绝域中，因此接受原假设.
2 独立重复地对某物体的长度a 进行n 次测量, 设各次测量结果．
测量多少次？
【答案】因为
再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
或
由此查表得的差异小于0.1.
3． 某种产品上的缺陷数X 服从下列分布列：均缺陷数.
, 从中解得
, 所以根据题意可列如下不等式
（可用线性插值法或用统计软件求出
服从正态分布. 记为
n 次测量结果的算术平均值, 为保证有95%的把握使平均值与实际值a 的差异小于0.1, 问至少需要
, 取n=16即可以95%的把握使平均值与实际值a
求此种产品上的平
【答案】由题意知Y=X+1可看作服从几何分布Ge （1/2）的随机变量，所以E （Y ）=2，由此得E （X ）=E（Y ）-1=1.
4． 随机选取9发炮弹，测得炮弹的炮口速度的样本标准差s=11m/s, 若炮弹的炮口速度服从正态分布，求其标准差的0.95置信上限.
【答案】在正态分布下，对样本方差有
故标准差的
置信上限为
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，从而有等价地
，
现
查表知
故标准差的0.95置信上限为
5． 设
【答案】因为
6． 掷三颗骰子，求以下事件的概率：
（1）所得的最大点数小于等于5； （2）所得的最大点数等于5. 【答案】这情况相当于从为所得的最大点数，则
（1）（2）
中有返回地任取三个，所有可能为重复排列数
中有返回地任取三个，所有可能为
这是分若记Y
母，而“最大点数小于等于5”，相当于从
独立同分布, 且都服从. 的特征函数为
分布, 试求
的分布.
的特征函数为
所以由诸的相互独立性得
,
这正是正态分布的特征函数,
所以由唯一性定理知
7． 在长为a 的线段的中点的两边随机地各选取一点, 求两点间的距离小于a/3的概率.
【答案】记X 为线段中点左边所取点到端点0的距离, Y 为线段中点右边所取点到端点a 的距离, 则
且X 与Y 相互独立, 它们的联合密度函数为
而P （x , y ）的非零区域与
的交集为图阴影部分, 因此, 所求概率为
图
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8． 设总体密度函数为
【答案】对数密度函数为
x ＞0, θ＞0，求θ的费希尔信息量I （θ）.
于是
由此给出
二、证明题
9． [1]设间为
[2]某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况. 现记录了该商店过去的一些销售量，数据如下表：
表
试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间.
【答案】[1]由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本
均
，此可作为枢轴量，对给定利用标准正态分布的
括号里的事件等价于
因而得
其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式
故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为可表示为
这就证明了的近似
置信区间为
事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有
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是来自泊松分布P （λ）的样本，证明：当样本量n 较大时，的近似置信区
，因而
分位数
可得
则有，
其中
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