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一、证明题

1． 设在

上连续

，

证明

【答案】因为

所以

从而

2． 证明

【答案】

将

是

故

即

3． 设函数

在

上连续，在.

内可导，且满足

证明:至少存在一点

【答案】令

中值定

理知，

使得

因此，由罗尔定理可知，

使得

由于

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作偶延拓到

上，再在

外作周期延拓，于

使则

在

上连续，在

内可导. 由题设，利用积分

故有

4． 设

是[a, b]上非负连续函数，

在[a, b]上点态收敛于u (x ) . 证明：u (x ) 在[a, b]上

一定达到最小值.

【答案】记在点列

且

下证：

由

在点

处的连续性知，

当

由于

递增，故更有这样便有

这与

相矛盾.

于是存在适当大的k ，

使时，有

使

由

知，

使

反证法 若不然，则

使

则

递增趋向于u (x ) ，且由致密性定理知，

设

则存不妨设

存在收敛子列，仍记为

二、解答题

5． 设f 在[a，b]上可积，且

【答案】设

且

任给，由

于

时，有

由于f （x ）在[a, b]上可积，对上述正数和由可积第三充要条件知，存在某一分割T ，使得在T 所属的小区间中，知，在T 的小区

间

于是

的长至多为

6． 求下列极限：

（1）【答案】⑴

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试问在[a，b]上是否可积？为什么？

在[a, b]上是可积的. 事实上，由于f （x ）在[a，b]上可积. 从而有界，

在

上一致连续，因此对上

述

存

在

当

的所有小区间

即

的总长:而在其余小区间

由式（*）

知另一方面，至多在

在[a，b]上可积。

由以上可

注

意

，而这些小区间

故由可积的第三充要条件知

（2

）

（2）

7． 设

【答案】

存在的充要条件是

且仅当

8． 一物体在某介质中按移至

【答案】

其中

故

9． 在[0，π]上展开

【答案】将

为余弦级数. 延拓为

上的偶函数，

则

由收敛定理，对

在点

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试确定的值，使在处可导.

于是

要使这个等式成立，当

于是

作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由

时克服介质阻力所作的功。

处，其傅里叶级数收敛于