2017年郑州大学联合培养单位河南工程学院655数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
则在
满足
上恒等于0。
存在二阶导数，故
在
故
得
大值矛盾，故
2． 设正项级数
(1) (2) 由
发散.
用分点单调性，得
从而
当
时，
即得结论.
因单调下降且趋于0, 及
发散. 所以
有
故由收敛原理知
发散.
使
于是对
故级数
分成无限个小区间，在
上，
及
同理可证
发散
，
所以在令
在于
是于是
上求证：
为
上连续. 由最小最大值定理知，
由费马定理
知的一个严格极小值.
这与
在现证再
由
为最
上存在最大值和最小值. 设
假
设
因
上的最大值为M , 最小值为m ，
并且
其中
为任一函数. 证明：若
【答案】反证法. 因
【答案】(1) 把
(2) 方法一：
我们考虑级数
收敛，于是由第(1) 小题推出级数方法二：因对任意固定的
3． 用确界原理证明有限覆盖定理。
【答案】构造集合H
覆盖闭区间
所以存在一个开区间
能被H 中有限个开区间覆盖. 明显，S 有上界. 又因为
使
取
则
即
能被H 中的有限个开区间覆盖. 从而
即
用反证法. 若则由H 覆盖闭区间使
则
所以
也能被H 中有限个开区间所覆盖，所以
4．
设为两个常数，定义
在
有证明:
【答案】由由
当
对故
由
可推得
.
时，有
可知存在正整数N ，使得
而
这与
由确界原理可知，存在
知，必存在
矛盾. 因此上的函
数
使
下面证明取
和
能被H 中有限个开区间覆盖，把加上，
就得到
所以定理结论成立。 在
附近有界，且
对
知
故只需证明
在
附近有界，
所以
时有
从而
(n 为任意正整数) ,
而
于是取
当
二、解答题
5． 求下列函数的高阶微分：
【答案】（1）
（2）
6． 试求下列极限(包括非正常极限) ：
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