2018年曲阜师范大学工学院764高等代数B(只含线性代数)考研强化五套模拟题
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2018年曲阜师范大学工学院764高等代数B （只含线性代数）考研强化五套模拟题（一） . ... 2 2018年曲阜师范大学工学院764高等代数B （只含线性代数）考研强化五套模拟题（二） . . 10 2018年曲阜师范大学工学院764高等代数B （只含线性代数）考研强化五套模拟题（三） . . 21 2018年曲阜师范大学工学院764高等代数B （只含线性代数）考研强化五套模拟题（四） . . 31 2018年曲阜师范大学工学院764高等代数B （只含线性代数）考研强化五套模拟题（五） . . 40
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一、分析计算题
1． 设T 是数域K 上线性空间V 的线性变换. 证明:
①若
是T 的分别属于特征值
且
则
于是由（1）得
②若T 是数乘变换, 则存在
使
从而V 中任何非零向量都是T 的特征向量.
反之, 若V 中任何非零向量都是T 的特征向量, 则在V 中任取再任取V 的一个向量x. 若若若盾, 故必有
或
则也有
则由假设x 也是T 的特征向量, 设
则由①知即也有
不是T 的特征向量. 这与任何非零向量都是T 的特征向量的假设矛
因此, T 是数乘变换.
是A
的属于
设
但属于不同特征值的特征向量线性无关, 故
矛盾.
的特征向量且
故
（1）
若
是T 的特征向量, 相应特征值为
则
不是T 的特征向量；
②T 是数乘变换【答案】①因为
V 中每个非零向量都是T 的特征向量.
2． 已知1, 1, -1是3阶实对称矩阵A 的三个特征值,
的特征向量. （1）求A 的属于（2）求可逆矩阵P , 使【答案】 （1）设量必正交, 则
解之, 得
故一 1的全部特征向量是
令
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的特征向量.
为对角矩阵.
的特征向量为
由A 实对称, 属于其不同特征值的特征向
（2）取一1的特征向量为
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则
故
因为矩阵P 要满足
为对角矩阵, 取
则 3． 设
n 阶行列式
求D
展开式的正项总数.
【答案】由于D 中元素都是
±1, 因此D 的展开式中正项总数为P , 负项总数为q ，那么有
由
得
下面计算D ，用第n 行分别加到其它各行得
项中，每一项不是
1就是
, 设展开式
将④代入③得
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4．
下图表示一个电路网络，每条线上标出的数字是电阻（单位是欧姆），E 点接地，
由
点通入的电流皆为100安培，求这四点的电位. （用基尔霍夫定律. ）
图
【答案】 5． 设
点的电位分别为
（单位是伏特）
T 是n 维线性空间V 的一个线性变换，
令
其中
表示T 的值域，
，则有
为
的基，
所以
线性无关，且
因此有
，
表示T 的核空间.
是的一个
基，
且证明:【答案】而
故所以
又从而
， ，
是直和. 又因为线性无关，故有
6． 已知3阶正交矩阵A 的行列式为1. 证明A 的特征多项式一定为
其中，a 是实数
, 且
,
【答案】由于A 为3阶正交矩阵. 且设A 的特征值为
则有
从而
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所以A 特征值的模为1, 且A 必有特征值1.
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