2018年西南交通大学数学学院875高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
A. B.
C.
不一定是线性变换，比如不是惟一的.
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ,
则有（ ）.
A. 交换A 的第1列与第2列得B B. 交换A 的第1行与第2行得B C. 交换A 的第1列与第2列得- B D. 交换A 的第1行与第2行得- B 【答案】C
【解析】解法1:题设又
所以有
即题设
因此
即
右乘初等阵
所以
得
解法2
所以有
*
*
*
*
*
*
*
*
【答案】C 【解析】而
. 则
也不是线性变换，比如给
,
与分别为A , B 的伴随矩阵，
3． 设行列式
为
，则方程，的根的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
有两个根
4． 设
阶矩阵若矩阵A 的秩为则a 必为（A.
B.
C.
D. 【答案】B 【解析】
秩
故
或
但当a=1时，
秩
5． 设
则A 与B （ ）.
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
）
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
二、分析计算题
6． 用初等对称多项式表示
【答案】解法1:
的首项为
，它对应指数组
因对称多项式
所以
解法2:根据
式方幂之积，列表如下：
表
设取 7． 令的第
（2）对任意【答案】 （1）
而（2）由于比如
的
元也等于②式. 故
与A 的行的位置发生变化, 所以A 与
不一定相似.
矩阵A ,
的
与A 是否相似？ 元等于AB 的
元, 即为
②
是
作为第
（1）证明:对任意
的一个排列, 对于任意一个
行所得矩阵.
矩阵A , B
①
' 矩阵A , 令
表示依次以A
，得
' ，即
，所以
的首项
写出所有不先于首项的3次指数组对应的初等对称多项
I , 令
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