2017年上海市培养单位上海技术物理研究所601高等数学(甲)考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 当正在高度H 飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图所示，从飞机到机场的水平地面距离为L 。假设飞机下降的路径为三次函数确定飞机的降落路径。
的图形，其中
试
【答案】设立坐标系如图所示。根据题意，可知
为使飞机平稳降落，尚需满足
解得
故飞机的降落路径为
2． 判断下列反常积分的收敛性：
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）x=0为被积函数敛，又由于
，而
的瑕点，而
收敛，故
的瑕点，而
收敛，因
，因此
收敛。 因此
收
x=2为被积函数（2）
收敛，又由于
（3）
又由于收敛，因此
，因此收敛，故
收敛。
，而收敛。
收敛。故收敛，即绝对
（4）x=0，x=1，x=2为被积
函数
，，因此
故
的瑕
点
收敛，又由于
收敛，故
收敛。
，
3． 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类。如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续:
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）对x=1，因为f （1）无定义，但
，重新定义函数:
所以x=l为第一类间断点（可去间断点）
则f l （x ）在x=1处连续。 因为
，所以x=2为第二类间断点（无穷间断点）.
，所以x=0为第一类间断点（可去间断
（2）对x=o，因为f （0）无定义，，重新定义函数: 点）
则f 2（x ）在（3）对x=0，因为（4）对x=1，因为
但不相等，所以x=1为第一类间断点（跳跃间断点）。
注：在讨论分段函数的连续性时，在函数的分段点处，必须分别考虑函数的左连续性和右连续性，只有函数在该点既左连续，又右连续，才能得出函数在该点连续。
4．
设均匀柱体密度为，占有闭区域
M 0（0, 0, a ）（a>b）处的单位质量的质点的引力。
【答案】由柱体的对称性和质量分布的均匀性知F x =Fy =0，引力沿z 轴的分量
处连续。 及
均不存在，所以x=0作为第二类间断点。
即左、右极限存在，
，求它对于位于点
5．
试证明方程误差不超过0.01。
【答案】设函数
由零点定理知至少存在一点至少有一实根。又即的实根。
现用切线法求这个实根的近似值: 由知取
, 利用递推公式
, 得:
在
, 使
上连续, 且
, 即方程
在区间（-1, 0）内
,
, 在区间（-1, 0）内有惟一
在区间（-l , 0）内有惟一的实根, 并用切线法求这个根的近似值, 使
, 故函数f （x ）在[-1, 0]上单调增加, 从而方程
在（-1, 0）内至多有一个实根, 因此方程
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