2017年河北大学电子信息工程学院601理学数学考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 曲线
在点（2, 4, 5）处的切线对于x 轴的倾角是多少？
（2, 4）就是曲线在点（2, 4, 5）处的切线
，于是倾角
.
【答案】设z=f（x ，y ）. 按偏导数的几何意义，对于x 轴的斜率，而
2． 求曲线
【答案】
，即2x-y=0，法线方程为（x-0）
，即
上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程。
0），因此曲线在点（0，处的切线方程为y-0=2，即x+2y=0。
3． 设u=a-b＋2c ，v=﹣a ＋3b-c. 试用a ，b ，c 表示2u-3v.
【答案】 2u-3v=2（a-b ＋2c ） -3（-a ＋3b-c ） =5a-11b＋7c
4． 分别按下列条件求平面方程：
； （l ）平行于xOz 面且经过点（2，﹣5，3）； （2）通过z 轴和点（﹣3，1，﹣2）
（3）平行于x 轴且经过两点（4，0，﹣2）和（5，1，7）.
【答案】（l ）所求平面平行于xOz 面，故设所求平面方程为By ＋D=0.将点（2，﹣5，3）代入，得﹣5B ＋D =0，即D=5B.因此，所求平面方程为By ＋5B=0，即y ＋5=0.
（2）所求平面过z 轴，故设所求平面方程为Ax ＋By=0.将点（﹣3，1，﹣2）代入，得﹣3A ＋B=0，即B=3A.因此，所求平面方程为Ax ＋3Ay=0，即x ＋3y=0.
（3）所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为By ＋Cz ＋D=0.将点（4，0，﹣2）及（5，1，7）分别代入方程得﹣2C ＋D=0及B ＋7C ＋D=0.解得
因此，所求平面方程为
即
9y －z －2=0
5． 设y=f（x ）的图形如图所示，试指出f （x ）的全部间断点，并对可去间断点补充或修改函数值的定义，使它成为连续点。
【答案】均为f （x ）的间断点，除x=0外它们均为f （x ）的可去间断点，
，则它们均成为f （x ）的连续点。 补充定义修改定义
6． 设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm ，内高为20cm ，内半径为4cm. 求容器外壳体积的近似值.
【答案】圆柱体的体积公式为V 的增量△v ，因为
当R=4，H=20，△R=△H=0.1时
即溶器外壳的体积大约是
55.3 7． 不用求出函数并指出它们所在的区间。
【答案】函
数少存在
,
,
分别
在
内可导,
且
, 使
即方程方程
8． （1）对
（2）设数列（3）求
至少有三个实根, 又方程
有且仅有三个实根, 它们分别位于区间
，证明不等式满足。
，由题意，圆柱形容器的外壳体积就是圆柱体体积
.
的导数, 说明方程
有几个实根,
上连续, 分别
在
由罗尔定理知至
为三次方程, 故它至多有三个实根, 因此
内。
证明
收敛；
，且
【答案】（1）令则由
即
（2）已知
，则由
即
有界，又由①式与②式有
即由
单调。 单调有界
收敛。 ，
因
时
由
令，因此，
，
取极限得。
（3
）记
，又由①式，若
9． 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x+y=2，y=x和x 轴所围成，它的面密
度
，求该薄片的质量.
【答案】D 如图1所示. 所求薄片的质量