2018年沈阳师范大学物理科学与技术学院854材料科学基础之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 为了使计算出球的体积准确到1%, 问度量半径为r 时允许发生的相对误差至多应为多少?
【答案】球的体积公式为由
得
, 解得
, 于是
.
. 即测量半径r 时允许发生的相对误差至多
. 应为
2． 计算下列二重积分:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）原式=
（2）曲线:y=x将区域D 分为两部分D 1和D 2, 所以
（3）所以
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2
, 其中D :, 其中
, 其中
其中D :►其中D :
.
.
, 其中在D 1内
. 在D 2内
,
, 其中, _.
（4）积分区域为D :数, 所以
, D 关于x 轴对称, 而函数’关于y 是奇函
从而原式=令
原式
（5）方法一 积分区域关于直线y=x对称, 所以
故
方法二 作变换x+y=u, x—y=v, 则D 变为
于是
, 所以
（6）积分区域关于y=x对称, 所以
于是
故
3． 分别求出满足下述条件的常数a 与b :
（1）（2）（3）【答案】 （1）
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•
, 则
•
,
所以
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（2）
（3）
4． 求极限
.
【答案】用连续性定理来求解. 将离散变量n 改成连续变量, 即令
显然, f （x , y ）在
原极限=
5． 求下列函数的极值点:
（1
）（2）（3
）
【答案】（1）解方程组
得稳定点（a ，a ）, （0, 0）， 由于
所以（a ，a ）为极大值点，
所以（0, 0）不是极值点， （2）由
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上连续,
由连续性定理, 有