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一、证明题

1． 证明:

【答案】

于是, 对于有界性定理知, 存在

故

2． 举例说明:瑕积分

【答案】例如瑕积负

收敛时

不一定收敛.

, 故瑕积分

故瑕积分

3． 设

在区间

发散 为正数,

与

. 证明:方程

内各有一个根.

, 故有

由根的存在性定理, 必存在令

则

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为有界函数.

, 存在, 使得当

时.

对, 有. 在[—M , M]上, 由连续函数的

. 于是, 对于一切

, 使得当

为有界函数.

收敛, 但

【答案】（1）证法一:设辅助函数

f （x ）为初等函数, 因此f （x ）为连续函数. 由于

和使得.

即

（2）证法二:令因为

在内有一个根. 同理可证, 方程

4． 设, 证明:

（1）（2）若

【答案】（1）因为同时, 存在正整数当

时

. , 令

, 则使得当

时

,

, 于是, 当n>N时,

由于M 的任意性

, 故

（2）因为于是

, 所以对一切由（1）的结论得

即

对于任给的

, 存在正整数, 使得当

时,

5． 设f （x , y ）及其一阶偏导数在（0, 1）附近存在、连续, 且证明:

在点

附近可确定一单值函数

, 并求

.

第

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在

与

.

内各有一个根.

且

, 使得

, 使得

, 故方程

, 所以存在

由连续函数根的存在定理知, 存在

在

内也有一个根.

.

, 对于任给的M>0,

存在正整数

,

使得当

,

时

.

, 存在正整数N , 使得当n>N时

, . 即.

, 即, 所以

, 又f （0, 1） =0,

.

【答案】令

下面验证F （

x ,

t）在由

的连续件可知,

由而连续可微函数

且

,

满足

在,

附近满足隐函数存在定理的条件. 和

附近连续.

知, 初始条件满足.

附近由方程

=0可以确定唯一的

及f

的一阶偏导数在（0, 1）附近

于是, 由隐函数存在定理, 在

二、解答题

6． f （x ）在有界实数集E 上一致连续的充要条件是把E 中的柯西列变为R 中的柯西列.

【答案】只要从而有

,

. 当n , mN 时, 有

是柯西列

.

. 对

.

.

是E 中的柯西列,

却发散, 不是柯西列.

上哪些点的切线平行于下列直线: ； .

在x 处的切线斜率为的斜率为1. 由的斜率为2. 由上点

得x=1, 故曲线得

,

.

上点（1, 0）的切线平行于直线

相应地存在

和

,

这表明

, 就有

若f 在E 上一致连续, 则设{xn }是E 中任一柯西列,

对上述

假设f （x ）在

E 上非一致连续, 则尽管注意到即但

7．

试确定曲线

（1）（2）【答案】曲线（1）直线. （2）直线故曲线

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, 但

也有一个子列

是有界数列, 由致密性定理, 它存在收敛子列

与此相对应的

的切线平行于直线y=2x—3.