2017年北京工业大学应用数理学院概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女比例为22:21的人群中随机地挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
【答案】记A 为事件“任选一人是色盲患者”，记B 为事件“任选一人是男性用贝叶斯公式
2． 切尾均值也是一个常用的反映样本数据的特征量, 其想法是将数据的两端的值舍去, 而用剩下的当中的值来计算样本均值, 其计算公式是是切尾系数
的学习情况, 以下数据是大学生每周用于看电视的时间:
取
试计算其切尾均值.
当
. 时, 由题意得, 切尾均值
3． 设随机变量
【答案】（1）
（2）（3）由
查表得
取0.154.
4． 某种导线的质量标准要求其电阻的标准差不得超过根，测得样本标准差为导线的标准差显著地偏大？
【答案】本题是单侧检验问题，待检验的原假设和备择假设分别为
若取
查表知
拒绝域为由所给条件可得出检验统计量为
因此拒绝
，在显著性水平
下认为这批导线的标准差显著地偏大.
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, 其中
是有序样本. 现我们在某高校采访了16名大学生, 了解他们平时
【答案】将样本进行排序得
（1）求
问d 至多为多少？
（2）求P （X>3）；（3）设d 满足
由此解得
故d 至多
今在一批导线中随机抽取样品9
下能否认为这批
设总体为正态分布，问在显著性水平
5． 设a 为区间（0, 1）上的一个定点, 随机变量X 服从区间（0, 1）上的均匀分布. 以Y 表示点X 到a 的距离. 问a 为何值时X 与Y 不相关.
【答案】由题设条件知
所以由此方程等价于
从中解得在（0, 1）内的实根为a=0.5, 即a=0.5时, X 与Y 不相关.
6． 甲口袋有1个黑球、2个白球，乙口袋有3个白球. 每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋. 求交换n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率.
【答案】设事件且
所以由全概率公式得
得递推公式
将
代入上式可得
由此得
7． 某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年. 制造此种设备的厂家规定，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换. 如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元，而调换一台设备制造厂需花费300元. 试求每台设备的平均利润.
【答案】令
，其中
即Y 是一台设备在使用一年之内损坏的台数，显然Y 〜b （1，p ）
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又因为
可得方程
为“第i 次交换后黑球仍在甲口袋中”，记
则有
因为每台设备的利润为Z=100-300Y，所以每台设备的平均利润为
8． 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时. 它的密度函数为
（1）确定常数c ； （2）写出X 的分布函数；
（3）试求在20分钟内完成一道作业的概率； （4）试求10分钟以上完成一道作业的概率. 【答案】（1）因为由此解得c=21. （2）当x<0时，当
时，
当x>0.5时，所以X 的分布函数为
（3）所求概率为（4）所求概率为
二、证明题
9． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.
【答案】设总体玛分布
，其密度函数为
则的后验分布为
，其中已知，
为其样本，取
的先验分布为倒伽
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