2017年北京交通大学08102,数学综合测试二之概率论与数理统计教程考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1．
设
是来自韦布尔分布
,
的样本（m>0已知）, 试
给出一个充分统计量.
【答案】样本的联合密度函数为
若
令理,
2． 总体的长度不大于k.
【答案】由已知条件得的0.95置信区间为
其区间长度为
若使
即样本容量n 至少取
只需
由于
，
故
时，才能保证的置信水平为95%的
是
,
取
的充分统计量.
，已知，问样本容量n 取多大时才能保证的置信水平为95%的置信区间
,
, 由因子分解定
置信区间的长度不大于k.
3． 某种配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目分别是10，53，46. 按照某种遗传模型其频率之比应为
则要检验的假设为
此处
大似然法估计P. 其似然函数为
再微分法可得于是从而
由于含有一个未知参数P ，需要将之估计出来，用最
，问数据与模型是否相符？
【答案】这是一个分布拟合优度检验，总体可分为三类.
若记三类出现的概率分别为
查表知
能拒绝
故拒绝域为
观察结果
4． 在区间（0, 1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率.
【答案】这个概率可用几何方法确定，在区间（0, 1）中随机地取两个数分别记为x 和y , 则y ）（x ，的可能取值形成如下单位正方形
其区域为图中的阴影部分
.
其面积为
而事件A“两数之和小于7/5”
可表示为
不落在拒绝域，因此不
即可以认为数据与模型是相符的. 此处的P 值为
图
所以由几何方法得
5． 设随机变量X 和Y 独立同分布, 且
试求
6． 设某元件是某电气设备的一个关键部件, 当该元件失效后立即换上一个新的元件. 假定该元件的平均寿命为100小时, 标准差为30小时, 试问:应该有多少备件, 才能有0.95以上的概率, 保证这个系统能连续运行2000小时以上？
【答案】记为第i 个元件的寿命, 如下不等式
再由林德伯格-莱维中心极限定理可得
【答案】利用独立性可得
. 则, 根据题意可列
由此查表得
, 从中解得
, 所以取
, 即应有23个此种元件, 可
有0.95以上的概率保证这个系统能连续运行2000小时以上.
7． 设是来自的样本, 经计算
【答案】因为
量的分布函数, 注意到t 分布是对称的, 故
用
, 试求
（x ）表示服从t （15）的随机变
利用统计软件可计算上式, 譬如, 使用MA TLAB
软件在命令行输入0.8427, 直接输入
布在x 处的分布函数. 于是有
8． 设
与
独立同分布, 其共同分布为
与
然后计算
与
的相关系数
.
试求
的相关系数.
则给出0.6854. 这里的
则给出
就表示自由度为k 的t 分
【答案】先计算的期望、方差与协方差
.
二、证明题
9． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.
【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以
即A ，B 相容.