2017年北京工业大学北京未来网络科技创新中心《概率论与数理统计》考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 以X 记某医院一天内诞生婴儿的个数, 以Y 记其中男婴的个数. 设X 与Y 的联合分布列为
试求条件分布列P （Y=m|X=n）. 【答案】先求X 的边际分布列
所以X 服从参数为14的泊松分布. 由此得
这是二项分布b （n , 0.51）.
2． 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各任取一粒，求：
（1）两粒种子都能发芽的概率； （2）至少有一粒种子能发芽的概率； （3）恰好有一粒种子能发芽的概率.
【答案】记事件A 为“从甲中取出能发芽的种子”，B 为“从乙中取出能发芽的种子”.则P （A ）=0.8，P （B ）=0.9.由经验知，事件A 与B 相互独立.
（1）P （两粒种子都能发芽）（2）P （至少有一粒种子能发芽）
（3）P （恰好有一粒种子能发芽）
3． 随机选取9发炮弹，测得炮弹的炮口速度的样本标准差s=11m/s, 若炮弹的炮口速度服从正态分布，求其标准差的0.95置信上限.
【答案】在正态分布下，对样本方差有
故标准差的
置信上限为
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，从而有等价地
，
现
查表知
故标准差的0.95置信上限为
4． 某电子计算机主机有100个终端, 每个终端有80%的时间被使用. 若各个终端是否被使用是相互独立的, 试求至少有15个终端空闲的概率.
【答案】记X 为100个终端中被使用的终端个数, 则极限定理, 所求概率为
这表明至少有15个终端空闲的概率近似为0.9155.
5． 设随机变量X 与Y 相互独立, 试在以下情况下求Z=X/Y的密度函数:
（1）（2）
【答案】（1）因为当数为
使上式中的被积函数大于0的区域是
与
的交集, 所以当z>0时, 有
（2）因为当x>0时, 为
使上式中的被积函数大于0的区域是
与
的交集, 所以当z>0时, 有
6． 设随机变量X 满足
【答案】由，
已知
及题设条件
得
从中解得
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. 利用棣莫-拉普拉斯中心
时,
且当y>0时,
. 所以Z=X/Y的密度函
且当y>0时, 所以Z=X/Y的密度函数
试求
7． 在一个有n 个人参加的晚会上, 每个人带了一件礼物, 且假定各人带的礼物都不相同. 晚会期间各人从放在一起的n 件礼物中随机抽取一件, 试求抽中自己礼品的人数X 的均值和方差.
【答案】记
则由此得
又因为但因为
间不独立, 所以
为计算所以
因此
由此得
8． 一批产品共有100件，其中10件是不合格品. 根据验收规则，从中任取5件产品进行质量检验，假如5件中无不合格品，则这批产品被接收，否则就要重新对这批产品逐个检验.
（1）试求5件中不合格品数X 的分布列； （2）需要对这批产品进行逐个检验的概率是多少？ 【答案】（1）X 的分布列为
计算结果列表略.
，因（2）“需要对这批产品进行逐个检验”则意味着“检验5个产品，至少有一个不合格品”此所求概率为
先给出
的分布列, 注意到
的可能取值为0, 1. 且
所以
是同分布的, 但不独立. 其共同分布为
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