2017年北京工业大学北京未来网络科技创新中心《概率论与数理统计》复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 在生产中积累了32组某种铸件在不同腐蚀时间x 下腐蚀深度y 的数据，求得回归方程为
且误差方差的无偏估计为（1）对回归方程作显著性检验（2）求样本相关系数；
（3）若腐蚀时间x=870，试给出y 的0.95近似预测区间. 【答案】（1）由已给条件可以得到因此
表
把这些平方和移至如下方差分析表上，继续计算
总偏差平方和为0.1246. 列出方差分析表；
若取显著性水平归方程检验的p 值为
则因此回归方程是显著的，此处，回
这是一个很小的概率，说明回归方程显著性很高. （2）样本相关系数
（3）若腐蚀时间x=870，则y 的预测值为
其0.95近似预测区间的半径为
从而y 的0.95近似预测区间为
2． 某种圆盘的直径在区间（a ，b ）上服从均匀分布，试求此种圆盘的平均面积.
【答案】记X 为圆盘的直径，则圆盘的面积为
所以平均面积为
3 己知随机变量X 与Y 的相关系数为ρ, 求．非零常数.
【答案】先计算然后计算
与
的方差与协方差
.
与的相关系数, 其中a , b , c , d 均为
与的相关系数
.
所以当a 与c 同号时
而当a 与c 异号时
4． 设随机变量X 的分布函数为
试求E （X ）. 【答案】利用可得
5． 从一个装有m 个白球、n 个黑球的袋中进行有返回地摸球，直到摸到白球时停止. 试求取出黑球数的期望.
【答案】令X 为取到白球时已取出的黑球数，则Y=X+1服从几何分布E （Y ）=（n+m）/m=n/m+l，由此得E （X ）=E（Y ）-l=n/m.
6． 设X 与Y 的联合密度函数为
【答案】当
时, p （x , y ）的非零区域与
试求Z=X-Y的密度函数.
的交集为图阴影部分, 所以
所以
公式，
图
在区间（0, 1）外的z 有
7． 设
记
为
独立同分布，的取值有四种可能，其概率分别为
中出现各种可能结果的次数，
使
为θ的无偏估计；
所以
从而有
（1）确定【答案】（1）由于
（2）将V ar （T ）与θ的无偏估计方差的C-R 下界比较.
若使T 为θ的无偏估计，即要求
解之得
即（2）
对数似然函数为（略去与θ无关的项）
于是
是θ的无偏估计.
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