2018年河南师范大学数学与信息科学学院611数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设
（1）
（1）设（2）设
则
则
2． 设
（1）（2）（3）
【答案】（1
）因为
时, 有
取
则当
当
同时有
所以对于任给的
时, 有
存在.
成立, 因而
故
（2
）对于任给的
时,
时,
故
第 2 页，共 34 页
证明:
（2）
【答案】可以看出交换a , b的位置, 这两个等式两边的值都不变. 不妨假设
证明:
.
使得当
存在,
使得当
再由函数极限的局部有界性知,
存在
则当
时, 有
时
,
当使得当
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（3）对于任给的
时,
时,
有
取
则当
时有
故
3． 设函数f
（x
）在
求证:在【答案】令
上连续, 且
内至少存在两个不同的点
, 则有
, 使
又因为
所以存在sinx 恒为负,
都与
于是F （x ）在则存在
4． 设f （x ）是
使得
【答案】
记（1）若存在
则
, 而且
第
3 页
，共
34 页
,
存在
因
为
,
使得当时, 当使得当
由
局部
保号性知
, 存在
, 使得
矛盾. 又当, 使得
. 因若不然, 则在
时,
, 故,
即
内或F （x ）sinx 恒为正, 或F （x ）
满足
,
上有三个不同零点, 再用罗尔定理,
.. 上的有界连续函数, 证明:
对任意T0, 存在数列
分三种情况讨论.
, 使得当
时, 恒有
, 即
. 取
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这表明为上L.
由
（2）若存在（3）若存在于是, 有
是单调递增数列. 注意到f （x ）的有界性, 利用单调有界定理,
, 可得
, 使得当
满足:
, 使得
时, 恒有
. 这种情形可仿照（1）证明.
. 使得
, 而且
存在, 记
. .
由连续函数根的存在定理知, 存在
5． 用有限覆盖定理证明聚点定理.
【答案】设有界无限点集中每一点均不是S 的聚点, 则
, 则H 为
有限个邻域
由于
为有限点集
, 使得
所以由上式知S 为有限点集, 与假设矛盾. 故S
在[-M, M]中至少有一个聚点. 6． 设
【答案】（1）当
时, 由于
此即
（2）当
时, 由于
令而
则
存在
当
时, 有
用
语言证明:
, 当
时, 有
. 显然若S 有聚点, 则必含于
, 使得
中. 假设
为有限点集. 记
的一个开覆盖, 由有限覆盖定理知, 存在H 中
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